Pust. Fortfarande problem med gränser

Hej!

     ${\displaystyle {\int }_{y=0}^{\pi }{\int }_{x=0}^{\pi }\frac{\sin x}{x}{1}_{[y,\pi ]}\left(x\right) dxdy={\int }_{x=0}^{\pi }\frac{\sin x}{x}\left({\int }_{y=0}^{x}dy\right) dx={\int }_0^{\pi }\sin x dx=2.}$

där indikatorfunktionen $1_{[y,\pi]}(x)=1$ när $y\leq x \leq \pi$ och lika med noll för alla andra $x$.

Det går ju inte att hitta en elementär primitiv funktion till $\frac{\sin(x)}{x}$. Alltså får vi försöka ändra ordning på variablerna och hoppas att vi får en enklare integral. För att göra det behöver vi se hur området ser ut.

Jag vet inte vad du försöker rita, men vi är ju intresserade av området vi integrerar över. Detta område har ingenting med $\frac{sin(x)}{x}$ att göra, utan är en triangel definierat av olikheterna $y \leq x \leq \pi$ och $0 \leq y \leq \pi$:

Försök nu ställa upp integralens gränser med $y$ innerst utifrån detta område.

Förlåt, kan du förklara för mig hur du sätter dessa gränser? Varför y är mindre än x?

Det ser man ju på integrationsgränserna. Integralen i $x$-led har gränserna $y$ och $\pi$. Då varierar ju $x$ mellan $y$ och $\pi$, d.v.s. $y \leq x \leq \pi$. På samma sätt går $y$-integralen från $0$ till $\pi$, och därför blir det $0 \leq y \leq \pi$.

Hej Daja,

Den första integrationsgränsen $\displaystyle \int_y^\pi$ säger att x ska gå från y till $\pi$. Om man vill kan man skriva det som $y<><>$.

Den andra integrationsgränsen $\displaystyle \int_0^\pi$ säger att y ska gå från 0 till $\pi$. Om man vill kan man skriva det som $0<><>$.

Om vi sammanfattar ska du alltså integrera över området

$y<><\pi,\quad><><>$

Kan du försöka rita upp det området?

Angående Mathematica är det så att hon tolkar den första gränslistan du matar in som den yttre integralen och så fortsätter det inåt.

Din integral ges alltså av:

Integrate[Sin[x]/x, {y, 0, \[Pi]}, {x, y, \[Pi]}]

Som Alvin ritade:

Måste det vara trianglet orange OCH lilla?

Trycker skamlöst upp mitt ful område för checkande ...