Punkt inuti triangel

Hej

jag förstår inte riktigt hur man ska lösa denna uppgift:

Antag att punkten P ligger inuti triangeln $△ A B C$ och med arean S. Visa att $A P \times B C + B P \times A C + C P \times A B \geq 4 S$

Jag ser ju att man har multiplicerat P med A,B,C i tur och ordning samt multiplicerat ihop de två övriga termer och tillsammans ska det bli lika eller större än arean multiplicerat med 4.

Det saknas lite bakgrundsinfo. Är t ex AP en vektor från punkten A till punkten P eller avståndet mellan punkterna A och P eller något annat? Är $\times$ tecken för multiplikation eller kryssprodukt?

x är multiplikationstecknet, någon annan information finns tyvärr inte till uppgiften.

Vad handlar kursen du läser om? Gissningsvis handlar det om längderna av de olika sidorna.

Har du ritat en bild? Det bör alltid vara det första steget.

Låt $h_{c}$ vara höjden på triangeln från sidan AB. Notera då att du har att

$h_{c} A B = 2 S$

samt om $h_{P, A B}$ är höjden från sidan AB till punkten P, så gäller det att

$h_{c} \leq h_{p, A B} + C P$

detta gäller för alla kombinationerna du har. Bara genom att utnyttja detta och genom att tolka ett visst uttryck du får som en area så kommer olikheten du ska visa trilla ut.

okej men hur ska man gå vidare från $h_{c} \leq h_{p A B} + C P$ där är jag inte riktigt med

Du har alltså att

$h_{C} A B + h_{B} A C + h_{A} B C = 6 S$

Om nu använder den där olikheten på VL, för alla termerna, vad får du?

Vi har ju att $h_{c} A B + h_{B} A C + h_{A} B C = 6 s$ samt $h_{c} A B = 2 s, h_{B} A C = 2 s, h_{A} B C = 2 s$

men i VL i ursprungsfrågan får vi ju istället för $h_{c}$ multiplicera BC med AP, så ska alltså AP*BC=2s?

Du har alltså att

$h_{C} \leq h_{P, A B} + C P, h_{B} \leq h_{P, A C} + B P, h_{A} \leq h_{P, B C} + A P$

Se till så att du verkligen kan bevisa dessa olikheter. Nu har du även att

$6 S = h_{C} A B + h_{B} A C + h_{A} B C$

Vad händer om du använder de tre olikheterna på detta uttryck? Du vill alltså göra en övre uppskattning på HL.

hm jag är inte helt med på hur man ska utnyttja olikheterna på HL

Vi har på första termen at $h_{c} \leq h_{p A B} + C P$ men hur ska jag använda den på $h_{c} A B$

Multiplicera både sidorna i olikheten med AB.

okej så på första termen efter multiplikation med AB får vi då $h_{c} A B \leq h_{p} A B^{2} + C P A B$

Nej nej, alltså i $h_{P, A B}$ så är AB nedsänkt. Det är alltså höjden från sida AB till punkten P. Så man har att

$h_{c} A B \leq h_{P, A B} A B + C P \cdot A B$

Om du gör liknande för alla olikheter så får du också

$h_{B} A C \leq h_{P, A C} A C + B P \cdot A C, h_{A} B C \leq h_{P, B C} B C + A P \cdot B C$

Så sätter du ihop detta så har du olikheten

$6 S \leq A P \cdot B C + B P \cdot A C + C P \cdot A B + h_{P, A B} A B + h_{P, A C} A C + h_{P, B C} B C$

Nu måste du tolka summan av de tre sista termerna geometriskt.

Svara

Visa senaste svar