Provfråga med minsta och storsta värde

Titta på

$\left\{\begin{array}{l}-4x + y(x^2 + y^2{)}^2 = 0\\ -4y + x(x^2 + y^2{)}^2 = 0\end{array}\right.$.

Summera dessa utan att utveckla parentesen, då fås

$-4x -4y + x(x^2 + y^2{)}^2 + y(x^2 + y^2{)}^2 = 0$

Här skymtar vi en term $x + y$. Därför skriver vi om uttrycket med utgångspunkt i den termen och får

$$\begin{gathered} -4(x + y) + (x + y)(x^2 + y^2{)}^2 = 0 \\ (x + y) \times (-4 + (x^2 + y^2{)}^2) = 0 \end{gathered}$$

För att ekvationen ska bli 0 ska den första eller andra parentesen vara noll. Den andra parentesen kan inte vara noll därför får vi x + y = 0 som ger y = -x .

För att klara detta på prov måste det övas övas och övas. Få en känsla för vad man ska titta efter. Hur ska ekvationen skrivas om för att tydliggöra den information man vill ha.

dajamanté skrev:

...

1. randpunkter av donutsen

$f(x,0)=\frac{2}{x^2}$

$f(0,y)=\frac{2}{y^2}$

Detta är inte svar på din fråga, bara ett påpekande att du har fått fram fel randpunkter.

Randpunkterna utgörs av de två cirklarna $x^2+y^2=1$ och $x^2+y^2=4$ 

 Hej!

Det första man kan konstatera är att området du försöker optimera din funktion över är kompakt, vilket innebär att funktionen (faktiskt) antar ett största och minsta värde på området. (hade området ej varit kompakt hade du behövt argumentera för att största/minsta värde antas). För att hitta ev. optimum till funktionen så är förfarandet egentligen analogt med det endimensionella fallet. Du behöver undersöka randen till området (som i detta fall utgörs av två cirklar med radie ett och två). Sedan så behöver du undersöka där gradienten är noll. Dessutom så är det uppenbart att funktionen är deriverbar överallt på området.

Så det första steget blir att kontrollera randen $\partial D$. Parametrisera den innersta cirkeln $x^2+y^2=1$ genom (tex) $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}\right.$och studera $f(\cos \theta ,\sin \theta )=2+\cos \theta \sin \theta$ för $\theta \in [0,2\mathrm{\pi }]$. Detta är ett endimensionellt problem, så lös denna med redan kända metoder!

Gör samma sak för yttre cirkeln. Studera sedan där $\nabla f=0$, vilket redan givits bra förslag till ovan.

Aerius skrev:

$$\begin{gathered} -4(x + y) + (x + y)(x^2 + y^2{)}^2 = 0 \\ (x + y) \times (-4 + (x^2 + y^2{)}^2) = 0 \end{gathered}$$

Mycket elegant faktorisering! Jag freak-out:ade när jag såg en krossprodukt en sekund :D

tarkovsky123_2 skrev:

 Hej!

Det första man kan konstatera är att området du försöker optimera din funktion över är kompakt, vilket innebär att funktionen (faktiskt) antar ett största och minsta värde på området. (hade området ej varit kompakt hade du behövt argumentera för att största/minsta värde antas). För att hitta ev. optimum till funktionen så är förfarandet egentligen analogt med det endimensionella fallet. Du behöver undersöka randen till området (som i detta fall utgörs av två cirklar med radie ett och två). Sedan så behöver du undersöka där gradienten är noll. Dessutom så är det uppenbart att funktionen är deriverbar överallt på området.

 

Så det första steget blir att kontrollera randen $\partial D$. Parametrisera den innersta cirkeln $x^2+y^2=1$ genom (tex) $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}\right.$och studera $f(\cos \theta ,\sin \theta )=2+\cos \theta \sin \theta$ för $\theta \in [0,2\mathrm{\pi }]$. Detta är ett endimensionellt problem, så lös denna med redan kända metoder!

 

Gör samma sak för yttre cirkeln. Studera sedan där $\nabla f=0$, vilket redan givits bra förslag till ovan.

Tackar, jag testar det imorgon bitti! 

Jag har undersökt det jag skrev lite noggrannare. Om man sätter in

$x = -y$

i ekvation

$-4x + y (x^2 + y^2{)}^2 = 0$

då får jag

$y = 0$.

Undersök om den andra parentesen ger något vettigt istället. Jag var för snabb med svaret, tur att inte jag har prov :)

Yngve skrev:

dajamanté skrev:

...

1. randpunkter av donutsen

$f(x,0)=\frac{2}{x^2}$

$f(0,y)=\frac{2}{y^2}$

Detta är inte svar på din fråga, bara ett påpekande att du har fått fram fel randpunkter.

Randpunkterna utgörs av de två cirklarna $x^2+y^2=1$ och $x^2+y^2=4$ 

 OMG Yngve, nu har jag forståt vad du menar, nämligen.... att jag hade inte fattat vad man undersöker!

Man undersöker kanterna på knackebrödet, överallt!

Så om jag parametriserar som @tarkovsky123_2 skrev:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}\right. \\ f(\cos \theta ,\sin \theta )=2+\cos \theta \sin \theta = 2+2 \frac{1}{2}\cos \theta \sin \theta \\ f\text{'}=\frac{1}{2}\sin 2\theta =0 \end{gathered}$$

Då får jag nog $(0,1), (0,-1), (0,2)$ och $(0,-2)$?

Så max värden är nog 3?

dajamanté skrev:

 OMG Yngve, nu har jag forståt vad du menar, nämligen.... att jag hade inte fattat vad man undersöker!

Man undersöker kanterna på knackebrödet, överallt!

Så om jag parametriserar som @tarkovsky123_2 skrev:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}\right. \\ f(\cos \theta ,\sin \theta )=2+\cos \theta \sin \theta = 2+2 \frac{1}{2}\cos \theta \sin \theta \\ f\text{'}=\frac{1}{2}\sin 2\theta =0 \end{gathered}$$

Då får jag nog $(0,1), (0,-1), (0,2)$ och $(0,-2)$?

Så max värden är nog 3?

Hej Daja.

Du glömde att derivera f.

Med $x=rcos(\theta )$ och $y=rsin(\theta )$ så får du

$f(r,\theta )=\frac{2}{r^2}+r^2sin(\theta )cos(\theta )$

$f(r,\theta )=\frac{2}{r^2}+\frac{r^2}{2}sin(2\theta )$

På ränderna är r konstant så där gäller att

$f'(r,\theta )=r^2cos(2\theta )$

Extrempunkterna på ränderna fås nu genom att lösa $f'(r,\theta )=0$.

$r^2cos(2\theta )=0$

$2\theta =\frac{\pi }{2}+n\cdot \pi$

$\theta =\frac{\pi }{4}+n\cdot \frac{\pi }{2}$

Tack.

Samma punkter får jag från $\frac{\partial f}{dx}/\frac{{\displaystyle \partial f}}{{\displaystyle dy}}$. Vad är skillnaden?

dajamanté skrev:

Tack.

Samma punkter får jag från $\frac{\partial f}{dx}/\frac{{\displaystyle \partial f}}{{\displaystyle dy}}$. Vad är skillnaden?

Ingen.

Om du får ut samma punkter av gradienten så betyder det bara att funktionen inte har några extremvärden i inre punkter. Det räcker då att undersöka de punkter du hittat.

Jämför med följande envariabelfall:

Bestäm största och minsta värde till funktionen

$f(x)=x^3-3x$

a) i intervallet $-3\leq x\leq 3$

Här är de stationära punkterna inre punkter vilket innebär att du måste kontrollera funktionsvärdet även i randpunkterna.

B) i intervallet $-1\leq x\leq 1$

Här ligger alla stationära punkter på randen, vilket innebär att funktionen saknar inre stationära punkter.

Det räcker då att kontrollera funktionsvärdet i randpunkterna.

Jag typ förstår men jag tror jag har för stor stress...