Pröva faktor i polynom
Är (x+2) en faktor i (x4-13x2+36)?
Jag skriver (x+2)(x3-2x2+18) = x4-4x2 +18x+36.
Ganska nära alltså, men det kanske inte går att komma närmare? Men hur kan man t ex bevisa att (x+2) inte är en faktor i polynomet?
Vi kan införa f(x) = x4-13x2+36.
Om x+2 är en faktor i f(x) så betyder det att det finns ett polynom p(x) så att f(x) = (x+2)p(x).
Kan du hitta ett nollställe till (x+2)p(x)?
Ja ett nollställe blir ju självklart x=-2, men vad hjälper det?
(x-2)p(x)=x4-13x+36, ger p(x)=
(x4-13x2+36)÷(x-2)
(x2-9)(x2-4)÷(x-2) =(x2-9)(x-2)(x+2)÷(x-2)
=(x2-9)(x+2)
Svar: Ja, (x-2) è en faktor i polynomet.
Henrik skrev:Ja ett nollställe blir ju självklart x=-2, men vad hjälper det?
Om x = -2 är ett nollställe så gäller att f(-2) = 0, vilket betyder att (x+2) är en faktor I polynomet
(x-2)p(x)=x4-13x+36, ger p(x)=
(x4-13x2+36)÷(x-2)
(x2-9)(x2-4)÷(x-2) =(x2-9)(x-2)(x+2)÷(x-2)
=(x2-9)(x+2)
Svar: Ja, (x-2) è en faktor i polynomet.
Men nu var det ju (x+2) som efterfrågades.
