Projektioner, plan och normaler

Har du försökt rita en bild av situationen?

Om inte, rita en bild på ett plan, märk ut en punkt $\mathbf{t}$ i planet och en punkt $\mathbf{x}$ någonstans utanför planet.

Dra sedan några hjälplinjer för att markera den vinkelräta projektionen, finns det någon linje som skulle vara vektorn $\mathbf{x}-\mathbf{t}$? Markera också det sökta avståndet. Visa dina försök!

(Jag gör annolunda tror jag, men är tanken rätt?)

Jag förstår inte varför de räknar med hela P? borde det inte vara P-t?

När de säger x = [4,6,13]^T är det en vektor i planet H? Eller är det en dåligt vald benämning?

Det du kallar $P$ är det de kallar $\mathbf{x}=(4,6,12)$.

Det du kallar $\vec{w}$ blev nästan rätt, det du ska dra bort från vektorn $(P-t)$ är projektionen av vektorn $(P-t)$ på normalen. Kvar blir då det du kallar $\vec{w}$

$\vec{w}=(P-t)-\mathrm{Proj_n}(P-t)=(P-t)-\frac{\langle(P-t),n \rangle}{\langle n,n\rangle}n$

$t$ är en godtycklig punkt i planet, du kan välja vilken punkt som helst, bara den uppfyller planets ekvation. Det visar sig att ett enkelt val är $t=(2,3,6)$

Ja nu ser jag att det blev fel! Det som förvirrar mig är att de gör såhär:

De har ju x och inte x-t på två ställen.

De har förenklat genom att utnyttja valet $n=t$

$\vec{w}=(P-t)-\frac{\langle (P-t),n\rangle}{\|n\|^2}n=(P-t)-\frac{\langle P,t \rangle-\langle t,n\rangle}{\|n\|^2}n=(P-t)-\frac{\langle P,n \rangle-\|n\|^2}{\|n\|^2}n=P-\frac{\langle P,n \rangle}{\|n\|^2}n=0$

Du vill ju förövrigt inte räkna ut $\vec{w}$ utan längden av den blå linjen i din skiss.