Projektion och spegling i plan
Jag har problem med den här uppgiften
punkterna (1,3,4) och (3,-1,8) är spegelbilder av varandra i ett visst plan. Bestäm en ekvation för detta plan.
Hur ska jag göra?
En punkts spegelbild i ett plan hamnar lika långt från planet, vinkelrätt ut på andra sidan. Alltså måste planet:
- Ligga lika långt från båda punkterna
- ha en normalvektor parallell med vektorn mellan punkterna
De två egenskaperna räcker för att entydigt bestämma planet.
Ledning:
(Det här kommer vara jättemycket enklara om du ritar en skiss över det jag beskriver nedan)
En linje i 3D kan beskrivas som en punkt på linjen, och en vektor i linjens riktning. Det spelar ingen roll vilken punkt så länge den ligger på linjen, och inte heller hur lång vektorn är eller vilken riktning den har så länge den går i linjens utbredningsriktning.
Linjen beskrivs då som P+s*V, dvs alla punkter på linjen kan skrivas på den formen. Man kan rita detta som att man först går från origo till punkten P, och sedan förflyttar sig en faktor s längst med vektorn V. Av detta följer att om man rör sig från en given punkt med en faktor s=2a så kommer man dubbelt så långt från punkten som om man förflyttar sig med en faktor s=a.
I 2D beksrivs samma sak med y=kx+m, där k är vår lutning (dvs vektor) och m är en offset (vilket motsvarar en punkt, exempelvis skärning med y-axeln).
Ett plan kan definieras som Ax+By+Cz=D. Den har en normalvektor som är (A,B,C)* och alla punkter i planet måste uppfylla planets ekvation.
*: Den har förstås oändligt många normalvektorer, men de skiljer ju bara i längd och riktning/tecken.
