projektion formel förståelse

Om du multiplicerar den positivt orienterade sträckan s med enhetsvektorn för a så får du projektionen $b_a$, det är helt korrekt.

Men ibland har du inte direkt tillgång till vinkeln mellan a och b eller sträckan s. Då är det smidigare att bara använda komponenterna.

Exempel:

$\mathbf{a}=(4,8)$

$\mathbf{b}=(6,2)$

Nu kan vi direkt räkna ut skalärprodukten som

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(4,8)\cdot (6,2)=4\cdot6+8\cdot2=24+16=40$.

Och projektionen b på a ges av

$\mathbf{b_a}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|^2}\mathbf{a}=\frac{40}{80}(4,8)=(2,4)$

Inte en enda gång behövde vi räkna ut någon vinkel eller multiplicera med cosinus-grejer!

Guggle skrev:

Om du multiplicerar den positivt orienterade sträckan s med enhetsvektorn för a så får du projektionen $b_a$, det är helt korrekt.

Men ibland har du inte direkt tillgång till vinkeln mellan a och b eller sträckan s. Då är det smidigare att bara använda komponenterna.

Exempel:

$\mathbf{a}=(4,8)$

$\mathbf{b}=(6,2)$

Nu kan vi direkt räkna ut skalärprodukten som

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(4,8)\cdot (6,2)=4\cdot6+8\cdot2=24+16=40$.

Och projektionen b på a ges av

$\mathbf{b_a}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|^2}\mathbf{a}=\frac{40}{80}(4,8)=(2,4)$

Inte en enda gång behövde vi räkna ut någon vinkel eller multiplicera med cosinus-grejer!

 begripligt! men jag undrar om skalärprodukten för a*b är samma som du fick om man använder mellanliggande vinkel också?  

och du menar att man kan strunta i vinkeln om man känner vektorernas x, y & z steg?  alltså om man ska räkna ut skalärprodukten

Korra skrev:

begripligt! men jag undrar om skalärprodukten för a*b är samma som du fick om man använder mellanliggande vinkel också?  

Ja, det blir alltid exakt samma svar. Låt oss testa just denna a och b bara för att se att det stämmer. Vinkeln mellan vektorerna är 45° (och det krävs tråkig trigonometri för att få fram mellanliggande vinkel om vi inte ska genomföra ett cirkelresonemang)

Absolutbeloppet av a är $|a|=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}$, absolutbeloppet av b är $|b|=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|a|\,|b|\,\cos(45^{\circ})=\sqrt{40\cdot 80}\,\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1600}=40$

och du menar att man kan strunta i vinkeln om man känner vektorernas x, y & z steg?

Japp! Det underlättar ofta väldigt mycket eftersom det bara är att multiplicera komponentvis och sedan lägga ihop.

Guggle skrev:

Korra skrev:

begripligt! men jag undrar om skalärprodukten för a*b är samma som du fick om man använder mellanliggande vinkel också?  

Ja, det blir alltid exakt samma svar. Låt oss testa just denna a och b bara för att se att det stämmer. Vinkeln mellan vektorerna är 45° (och det krävs tråkig trigonometri för att få fram mellanliggande vinkel om vi inte ska genomföra ett cirkelresonemang)

Absolutbeloppet av a är $|a|=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}$, absolutbeloppet av b är $|b|=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|a|\,|b|\,\cos(45^{\circ})=\sqrt{40\cdot 80}\,\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{1600}=40$

 

och du menar att man kan strunta i vinkeln om man känner vektorernas x, y & z steg?

Japp! Det underlättar ofta väldigt mycket eftersom det bara är att multiplicera komponentvis och sedan lägga ihop.

 tack så jättemycket för dina detaljerade svar, du förklarar saker utmärkt som vanligt. 

Du hjälper mig att klara studierna. Tack.