Kvotregeln och kedjeregeln

Du har slarvat när du bryter ut 3 för att förkorta (i både täljare och nämnare).

Hur kommer jag vidare för att hitta största och minsta värdet av funktionen ?jag har deriverat f(x). Ska jag sätta derivatan lika med 0? Vad gör jag sen?

Täljaren blev fel igen MEN kollade uppåt och du tappar bort x^2 i andra termen i täljaren under förenklingen. Prova att göra om från början i halva tempot. Att sänka tempot är ofta det bästa sättet att göra något snabbare.

Nu sänker jag tempot. Är det rätt deriverat? 

Jättebra. Och nu kan du hitta extrempunkterna på det vanliga sättet.

Ska jag sätta f’(x)=0? Sen lösa ut x? Hur ska jag veta om x är en minimipunkt eller maximipunkt?

Antingen med teckenstudium i förstaderivatan på båda sidorna om extrempunkterna (enklast), eller med andraderivatan i extrempunkterna.

Också alltid en bra ide att rita upp grafen för den givna funktionen med räknaren, gör det också enkelt att verifiera svaret.

Är det den ekvationen jag ska lösa?

0=2pi-2x²pi 

0=pi(2-2x²)

0=2-2x²

2x²=2

x²=1

x= +- sqrt(1)

Hur vet jag om detta är Max eller minpunkt?

Programmeraren skrev:

Antingen med teckenstudium i förstaderivatan på båda sidorna om extrempunkterna (enklast), eller med andraderivatan i extrempunkterna.

Jag har glömt lite hur man räknade med teckenstudium. Jag minns att man skulle göra en teckentabell, därefter sätta in de x man fått i ett teckentabell för att se om det är en Max punkt eller minpunkt. Men nu känner jag att jag behöver lite hjälp med hur jag ska göra ”teckentabellen” 

Kolla här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivatan-och-grafen/skissa-grafer

Jag har fastnat. Har läst igenom länken men har ändå fastnat . Jag vet inte vilken funktionen jag ska använda när jag ska göra teckentabellen, kan du hjälpa mig halvvägs med teckentabellen

Du vill undersöka lutningen runt dina extrempunkter eftersom du då vet om det är en min-, max- eller terasspunkt. Lutningen ges av derivatan så det är den vi ska använda.

Tabellen (a, b, c är x-värdena i tabellen, man skriver värden men behöver för att förklara vad kolumnerna ska innehålla):
En rad med: a < x1,  x1,  x1 < b < x2,  x2,  c > x2       (-2  -1  0  1  2)
En rad med derivatans tecken                                        (  -    0  +   0  -)

I detta fall är nämnaren alltid >0 så den kan du strunta i när du räknar.

Du ser att före x=-1 lutar det nedåt och efter x=-1 lutar det uppåt. Då är x=-1 en minpunkt. Gör samma sak för x=1

EDIT: Ser nu att f(x) är cos(bråket ovan), när jag hoppade in såg jag de ursprungliga felen i förenklingen och missade denna ack så viktiga detalj. Det innebär att det finns mer att göra.

x=1 är en maximipunkt … 

Men hur konstruerar du teckentabellen?  Du skriver en rad med  -2 -1 0 1  och en rad med derivatans tecken. Men hur får du -2 -1 0 1?  Varför har du valt just den punkten?

Derivatan av funktionen blir $\displaystyle \frac{2\pi (x^2-1) sin(\frac{2 \pi x}{3(x^2+1)})}{3(x^2+1)^{2}}$

Kommer du fram till samma uttryck när du deriverar?

Katarina149 skrev:

x=1 är en maximipunkt … 

Men hur konstruerar du teckentabellen?  Du skriver en rad med  -2 -1 0 1  och en rad med derivatans tecken. Men hur får du -2 -1 0 1?  Varför har du valt just den punkten?

Eftersom det inte finns någon extrempunkt mellan de beräknade extrempunkterna och de x jag valde så måste derivatan ha samma tecken oavsett. Om du tänker dig t ex x^2, "en ledsen mun", så är derivatan negativ för alla x<0 och positiv för alla x>0. Det är ju bara i extrempunkterna som derivatan kan ändras (om den inte ändras är det en terasspunkt).

Man kan alltså välja vilka punkter som helst på respektive sida om extrempunkterna.

@söderström

Detta kom jag fram till   Y=

Men f(x) är cos(bråket), se uppgiften.

Det är nog tänkt att du ska använda kjedjeregeln för cos(Z(x)).

Programmeraren skrev:

Katarina149 skrev:

x=1 är en maximipunkt … 

Men hur konstruerar du teckentabellen?  Du skriver en rad med  -2 -1 0 1  och en rad med derivatans tecken. Men hur får du -2 -1 0 1?  Varför har du valt just den punkten?

Eftersom det inte finns någon extrempunkt mellan de beräknade extrempunkterna och de x jag valde så måste derivatan ha samma tecken oavsett. Om du tänker dig t ex x^2, "en ledsen mun", så är derivatan negativ för alla x<0 och positiv för alla x>0. Det är ju bara i extrempunkterna som derivatan kan ändras (om den inte ändras är det en terasspunkt).

Man kan alltså välja vilka punkter som helst på respektive sida om extrempunkterna.

Hur menar du? Jag förstår inte. Hur ska jag kunna skilja på vad som är en minimipunkt och maximipunkten? Jag har försökt med en teckentabell men jag upplever att det blir för svårt att hänga med. Kan vi kanske hitta min och maxpunkt med hjälp av att derivera f’(x)? Dvs med hjälp av andra derivata därefter sätta in de x värden jag fått och se om svaret blir + eller -

Som jag skrev kan man också använda andraderivatan för att ta reda på om det är min- eller maxpunkt. Men jag garanterar att jag ovan sammanfattar hur man gör teckenstudium.

Om du fastnar, rita alltid upp grafen.

Alltså du har funktionen

$f(u)=g(u(x))$ där $u(x)$ är bråket i detta fall.

Derivatan blir:

$f'(u)= g'(u(x)) \cdot u'(x)$

Det är kedjeregeln alltså.

Kommer du vidare?

Tillägg: 29 nov 2021 16:00

Exempel: Derivatan till $f(x)=sin(3x)$ blir

$f'(x)= cos(3x) \cdot 3=3 cos(3x)$

Programmeraren skrev:

Som jag skrev kan man också använda andraderivatan för att ta reda på om det är min- eller maxpunkt. Men jag garanterar att jag ovan sammanfattar hur man gör teckenstudium.

Om du fastnar, rita alltid upp grafen.

Vilken graf kan jag rita upp i min grafritare? Ska det vara funktionen f(x) eller f’(x) för att hitta Max och minpunkt

Du kan rita både och (var för sig) om du vet hur du ska tolka dom när du ska jämföra en av dom med din teckentabell. 

Men först och främst måste du derivera funktionen med kedjeregeln. 

Jag har ju redan deriverar f(x) och fick f’(x).. Menar du att jag ska derivera f’(x) igen för att få andraderivatan. Men vad är det jag sen ska göra?

Har du fått samma derivata som jag? För att jag har fått detta:

$\displaystyle f'(x)= \frac{2\pi (x^2-1) sin(\frac{2 \pi x}{3(x^2+1)})}{3(x^2+1)^{2}}$

Katarina149 skrev:

Nu sänker jag tempot. Är det rätt deriverat? 

Här kan du se hela min uträkning dvs hur jag deriverar f(x) med hjälp av kvotregeln .. Har jag gjort fel?

Ja. Din funktion innehåller ju cos! 

Börja om från början och ta steg för steg. :)

Ska jag tänka att jag ska derivera f(x)=(2pi*x*cos(x))/(3(1+x²)))

Du ska derivera

$\displaystyle f(x)= cos(\frac{2 \pi x}{3(1+x^2)})$

Men ska jag först förenkla det som står innanför cos( ) ?  Hur ska man tänka när man deriverar något sånt? Jag såg inte ens att det stod cos

Det är ett bra första steg! Börja med det!

Jag förstår inte hur jag ska derivera detta , ska det bara bli sin(2pix/(3+3x²))

Ja! bra! Nu ska du använda kedjeregeln. se min kommentar Nr #22

Här har jag använt mig av kedjeregeln för att hitta f’(x).  Därefter deriverar jag f’(x) för att få f”(x). 
Hur ska jag tolka f”(x) ?

Jag har inte kontrollerat dina uträkningar.

Du kan använda andraderivatan för att ta reda på den stationära punktens karaktär.

Säg att f(x) har en stationär punkt vid x₁, dvs f'(x₁) = 0.

Då gäller att

• Om f''(x₁) < 0 så är det en maxpunkt
• Om f''(x₁) > 0 så är det en minpunkt
• Om f''(x) = 0 så kan det vara en terrasspunkt,men det kan även vara en min- eller maxpunkt

Läs mer här.

Hur ska jag tolka om min andra derivata är > 0 eller < 0 eller =0?

Du sätter in x för extrempunkterna och kollar vad tecknet blir. Tolkning står i Yngves svar och i länken.

(Generellt: Om det är jobbigt att ta fram andraderivatan är teckenstudium med derivatan ett snabbare sätt)

Ska jag bara välja vilket x ska helst som jag ska sätta in i min andra derivata? Vi kan testa med andraderivata 

Programmeraren skrev:

Du sätter in x för extrempunkterna och kollar vad tecknet blir. Tolkning står i Yngves svar och i länken.

Är det här rätt? Hur ska man tänka sen?

f''(1)<0 betyder att de är en maxpunkt men kanske det du menade.

MEN: har du tagit fram alla extrempunkter? -1 och 1 fick du när du satte derivatan till bråket lika med 0. Men det var ju när du hade missat cos runt alltihop. Sätt f'(x)=0 och kolla att du har alla extrempunkter.
EDIT:
Deriveringen: i inlägg #22 deriverade du korrekt bråket. Men det du har i #35 ser väldigt annorlunda ut (du glömmer nämnaren).
Det gör att det blir följdfel i mittersta bilden i #35. 

Är det rätt så långt?

ta bort fel

 Vad menar du med ta bort fel

Katarina149 skrev:

 Vad menar du med ta bort fel

att jag skrev något som jag inser är fel

Kan du påpeka vart exakt felet är?

Stuart menar att han skrev fel.

Jag ser inget fel i #43. Sätt lika med 0 för att hitta alla extrempunkter.

Jag sätter f’(x)=0 men uträkningen blir jätte komplicerat. Förstår inte hur jag ska tänka

Du tappar bort ett antal lösningar.

Din ekvation kan skrivas $0=-\sin(v)\cdot g(x)$, där $v=\frac{~\pi x}{3(1+x^2)}$ och $g(x)=\frac{6\pi (1-x^2)}{9(1+x^2)^2}$

Enligt nollproduktmetoden kan du nu dela upp detta i två fall:

• $-\sin(v)=0$, med lösningsmängden $v=n\pi$ o.s.v.
• $g(x)=0$, med lösningar ... o.s.v.

Kan man lösa den här uppgiften med enbart kunskap om kedjeregeln?

Nej, det är både kedjeregel och kvotregeln (dom är iofs väldigt nära släkt).

Men du är nästan klar.

Nu ska du bara hitta nollställena. Som Yngve skriver kan du sätta termerna lika med 0 var och en för sig (eftersom 0*nånting är  0).

-sin(v)=0  ger lösningar
bråket=0  ger lösningar