Produktregeln för integraler

Som jag har förstått det kan man skriva $\int_{0}^{1} u_{t t} (x, t) \cdot u_{t} (x, t) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{d}{d t} (u_{t} {(x, t)}^{2}) d x$ . I fallet $\int_{0}^{1} u_{x x} (x, t) \cdot u_{t} (x, t) d x$ blir jag dock förvirrad. Jag har i mina anteckningar skrivit $\int_{0}^{1} u_{x x} (x, t) \cdot u_{t} (x, t) d x = {[- u_{x} (x, t) \cdot u_{t} (x, t)]}_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{d}{d x} (u_{x} {(x, t)}^{2}) d x$ .

I steget under har jag dock skrivit $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{d}{d t} (u_{x} {(x, t)}^{2}) d x$ .

Jag är med på den partiella integrationen, men förstår inte om det ska vara derivata med avseende på d/dx eller d/dt i det nedre fallet. Kan någon förklara vad som är korrekt och varför?

Jag har i mina anteckningar skrivit $\int_{0}^{1} u_{x x} (x, t) \cdot u_{t} (x, t) d x = {[- u_{x} (x, t) \cdot u_{t} (x, t)]}_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{d}{d x} (u_{x} {(x, t)}^{2}) d x$ .

Jag måste titta noggrannare på detta, det är mycket rökelse och myhrra för den som är ovan. Men en detalj, varför har du minustecken i klammerparentesen, borde inte det minustecknet vara före sista integralen?

Du behöver inte svara mig, men kolla att du har rätt där.

Jag får Int(u_xx u_t) dx = u_x u_t – Int(u_x u_xt) dx

Nu gäller det att hitta den primitiva funktionen Int (u_x u_xt )dx

Vi provar att derivera (1/2) (u_x)² med avseende på t. Jag får:

(1/2)*2 * (u_x u_xt).

Så vi hamnar i att

Int (u_xx u_t) = u_x u_t – (1/2) Int [d/dt(u_x)²] dx

Osäker på om detta är rätt (och till någon nytta). Take or leave.

Svara