Produktregeln

Använd kedjeregeln.

Sätt u = sin(t), så har du 

$f(t)=5\sin^2t = 5u^2$

Kedjeregeln ger

$\dfrac{df}{dt}=\dfrac{df}{du}\cdot \dfrac{du}{dt}$

Du kan även använda produktregeln,  eftersom

$f(t) =5\sin^2t=5\sin t \cdot \sin t$

Tack! Hur bör jag se att jag kan använda kedjeregeln? Jag trodde jag använde den men bevisligen gjorde jag helt fel. 

Du har här en sammansättning av funktioner, och då är det kedjeregeln som gäller.

Yttre funktion: f = 5u² 

Inre funktion: u = sin(t)

Men när jag kör kedjeregeln blir det ändå inte rätt :/ Måste väl göra fel då. 

Min uträkning: $$\begin{gathered} 5u^2 ->\hspace{0.17em}10u ->\hspace{0.17em}10{\sin }^{2}t \\ u= \sin t -> u\text{'}=\cos t \\ Svar : 10{\sin }^{2}t·\cos t \end{gathered}$$

Lyckades göra rätt nu. Kom fram till $10\sin t · \cos t$. I facit står det dock att $10\sin t · \cos t =\hspace{0.17em}5\sin 2t$ och det förstår jag inte?

Dubbla vinkeln för sinus!

Trigettan, additionsformlerna (inkl. dubbla vinkeln), m.m. kommer att behöva plockas fram ur bakfickan rätt ofta framöver. 

En annan metod i det här fallet är att använda produktregeln som rubriken antyder, dvs (fg)' = f'g+fg'

Eftersom 5*sin²(t) kan skrivas 5*sin(t)*sin(t) så kan vi sätta f(t) = 5*sin(t) och g(t) = sin(t).

Det ger oss att f'(t) = 5*cos(t) och g'(t) = cos(t).

Vi får då att derivatan av 5*sin(t)*sin(t) = 5*cos(t)*sin(t)+5*sin(t)*cos(t) = 10*sin(t)*cos(t).