Produktregeln

Välkommen till Pluggakuten! Börja med att derivera $y$ (skriv $f(x),f'(x),g(x),g'(x)$ där det behövs). Sätt sedan in $g(x)$ och $g'(x)$ på respektive ställe. Vad får du då? :)

Smutstvätt skrev:

Välkommen till Pluggakuten! Börja med att derivera $y$ (skriv $f(x),f'(x),g(x),g'(x)$ där det behövs). Sätt sedan in $g(x)$ och $g'(x)$ på respektive ställe. Vad får du då? :)

Det blir:

y=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

g(x)=Ce^x och g'(x)=Ce^x

Alltså: y=f'(x)*Ce^x+f(x)*Ce^x

Vad står C för? Jag antar att det är bara ett konstant.

Genom att betrakta nollställena och minimipunkten för den blåa kurvan för f(x) kan du skriva ner hur   funktionen ser ut.

Jan Ragnar skrev:

Genom att betrakta nollställena och minimipunkten för den blåa kurvan för f(x) kan du skriva ner hur   funktionen ser ut.

Jag kan inte klura utt det 100% men jag kan tänka mig att det är: f(x)=x+x^2- 16

HundÄlskare skrev:

Jan Ragnar skrev:

Genom att betrakta nollställena och minimipunkten för den blåa kurvan för f(x) kan du skriva ner hur   funktionen ser ut.

Jag kan inte klura utt det 100% men jag kan tänka mig att det är: f(x)=x+x^2- 16

Nej. Det enklaste är att börja med att hitta symmetrilinjen. Var är den?

Smaragdalena skrev:

HundÄlskare skrev:

Visa föregående citat

Jan Ragnar skrev:

Genom att betrakta nollställena och minimipunkten för den blåa kurvan för f(x) kan du skriva ner hur   funktionen ser ut.

Jag kan inte klura utt det 100% men jag kan tänka mig att det är: f(x)=x+x^2- 16

Nej. Det enklaste är att börja med att hitta symmetrilinjen. Var är den?

Den ligger skär mitten av kurvan:Och formler är (nollställ1+nollställ2)/2 dvs.  (5+13)/2=9

Så andragradsfunktionen kan skrivas som k(x-9)²+b. Om man går 1 steg åt höger från minimum så ökar funktionens  värde med 1, och om man går ett steg till  ökar det med 3 steg. Det visar att k = 1 så det är bara värdet på b som du behöver ta fram.

Smaragdalena skrev:

Så andragradsfunktionen kan skrivas som k(x-9)²+b. Om man går 1 steg åt höger från minimum så ökar funktionens  värde med 1, och om man går ett steg till  ökar det med 3 steg. Det visar att k = 1 så det är bara värdet på b som du behöver ta fram.

Jag kan anta då att om y=ax^2+bx+c

Då är: ax^2=(-9x)^2   och bx=1*x

Jag tolkar det som att det är c som jag letar efter,  vilken formel ska jag använda för att hitta det, eftersom när jag använder (b/2)^2 får jag 0.25 och när jag stoppar in alla siffror på ett graf får jag fel resultat 

HundÄlskare skrev:

Smaragdalena skrev:

Så andragradsfunktionen kan skrivas som k(x-9)²+b. Om man går 1 steg åt höger från minimum så ökar funktionens  värde med 1, och om man går ett steg till  ökar det med 3 steg. Det visar att k = 1 så det är bara värdet på b som du behöver ta fram.

Jag kan anta då att om y=ax^2+bx+c

Då är: ax^2=(-9x)^2   och bx=1*x

Jag tolkar det som att det är c som jag letar efter,  vilken formel ska jag använda för att hitta det, eftersom när jag använder (b/2)^2 får jag 0.25 och när jag stoppar in alla siffror på ett graf får jag fel resultat 

För att förtydliga 

Enligt mig:

a=-9

b=1

c=?

c=(b/2)^2 

Dock får jag ett svar som är inte korrekt

Nej, om koefficienten för kvadrattermen är negativ har vi ett maximivärde ("sur mun"), inte ett minimum.

OK, vi kan ansätta att y = ax²+bx+c istället - det blir krångligare men det funkar. Vi kan läsa av tre punkter i bilden, t ex (5,0), (9,-16) och (13,0). Då får vi ekvationssystemet$\left\{\begin{array}{l}25a+5b+c=0\\ 81a+9b+c=0\\ 169a+13b+c=0\end{array}\right.$som man kan lösa med sedvanliga  metoder.

Alternativt kan man skriva andragradsfunktionen som y = (x-9)²-16, där man lätt läser av att minimivärdet är -16 i bilden (och att koefficienten för kvadrattermen är 1 beskrev jag i mitt förra inlägg). Om vi multiplicerar ihop  detta får vi y = x²-18x+81-16 eller y = x²-18x+65.

Smaragdalena skrev:

Nej, om koefficienten för kvadrattermen är negativ har vi ett maximivärde ("sur mun"), inte ett minimum.

OK, vi kan ansätta att y = ax²+bx+c istället - det blir krångligare men det funkar. Vi kan läsa av tre punkter i bilden, t ex (5,0), (9,-16) och (13,0). Då får vi ekvationssystemet$\left\{\begin{array}{l}25a+5b+c=0\\ 81a+9b+c=0\\ 169a+13b+c=0\end{array}\right.$som man kan lösa med sedvanliga  metoder.

Alternativt kan man skriva andragradsfunktionen som y = (x-9)²-16, där man lätt läser av att minimivärdet är -16 i bilden (och att koefficienten för kvadrattermen är 1 beskrev jag i mitt förra inlägg). Om vi multiplicerar ihop  detta får vi y = x²-18x+81-16 eller y = x²-18x+65.

Juste, tackar!

Nu när vi har f(x) då är det bara att sätta in det i funktionen:

$$\begin{gathered} y=f\left(x\right)*g\left(x\right) \\ y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)*g\left(x\right)+f\left(x\right)*g\text{'}\left(x\right) \\ y\text{'}=\left(\left(x^2-18x+65\right)·\left(C{e}^x\right)+\left(C{e}^x\right)\left(2x-18\right)\right) \\ y\text{'}=31e^{x}C+e^x{x}^{2}C-14e^{x}xC \end{gathered}$$

HundÄlskare skrev:

Smaragdalena skrev:

Nej, om koefficienten för kvadrattermen är negativ har vi ett maximivärde ("sur mun"), inte ett minimum.

OK, vi kan ansätta att y = ax²+bx+c istället - det blir krångligare men det funkar. Vi kan läsa av tre punkter i bilden, t ex (5,0), (9,-16) och (13,0). Då får vi ekvationssystemet$\left\{\begin{array}{l}25a+5b+c=0\\ 81a+9b+c=0\\ 169a+13b+c=0\end{array}\right.$som man kan lösa med sedvanliga  metoder.

Alternativt kan man skriva andragradsfunktionen som y = (x-9)²-16, där man lätt läser av att minimivärdet är -16 i bilden (och att koefficienten för kvadrattermen är 1 beskrev jag i mitt förra inlägg). Om vi multiplicerar ihop  detta får vi y = x²-18x+81-16 eller y = x²-18x+65.

Juste, tackar!

Nu när vi har f(x) då är det bara att sätta in det i funktionen:

$$\begin{gathered} y=f\left(x\right)*g\left(x\right) \\ y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)*g\left(x\right)+f\left(x\right)*g\text{'}\left(x\right) \\ y\text{'}=\left(\left(x^2-18x+65\right)·\left(C{e}^x\right)+\left(C{e}^x\right)\left(2x-18\right)\right) \\ y\text{'}=31e^{x}C+e^x{x}^{2}C-14e^{x}xC \end{gathered}$$

Efter det är det att använda $y\text{'}\left(6\right)$

$$\begin{gathered} y\text{'}\left(6\right) \\ y\text{'}\left(6\right)= \left(31e^{6}C+e^6·\hspace{0.17em}{6}^{2}C-14e^6·\hspace{0.17em}6·\hspace{0.17em}C\right) \\ y\text{'}\left(6\right)=-17e^6 \end{gathered}$$

Jag vet inte hur jag kan bevisa att $g\left(x\right)=0.02e^x$

Det saknas något på min sida som jag kan förstå, förmodligen något extremt enkelt för att slutföra uppgiften. :)

Man kan ju läsa av f(6) och f'(6) i bilden, så man behöver inte ta fram f(x) alls.

$$\begin{gathered} y=f\left(x\right)·g\left(x\right) \\ y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)·g\left(x\right)+f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right) \\ f\text{'}\left(6\right)·C{e}^6+f\left(6\right)·C{e}^6=-13 \\ C{e}^6·\left(-\frac{12}{2}-7\right)=-13 \\ C{e}^6=1 \\ C=\frac{1}{e^6} \end{gathered}$$

Tillägg: 22 maj 2022 10:48

f(6) utlästes från grafen

f'(6) utlästes från grafen $\frac{∆y}{∆x}$, negativ lutning

Jag är helt borta nu, om svaret är $g\left(x\right)=0,02e^x$, hur ska jag tillämpa den? Jag har ingen anning vad är nästa steg nu när C är löst.

HundÄlskare skrev:

Jag är helt borta nu, om svaret är $g\left(x\right)=0,02e^x$, hur ska jag tillämpa den? Jag har ingen anning vad är nästa steg nu när C är löst.

Läs  igenom uppgiften. Vad är det man frågar efter?

Smaragdalena skrev:

HundÄlskare skrev:

Jag är helt borta nu, om svaret är $g\left(x\right)=0,02e^x$, hur ska jag tillämpa den? Jag har ingen anning vad är nästa steg nu när C är löst.

Läs  igenom uppgiften. Vad är det man frågar efter?

Bestäma $g\left(x\right)$ när $y\text{'}\left(6\right)=-13$

Ålltså hitta en variabel för (x) när funktionen av $y\text{'}\left(6\right)=-13$

HundÄlskare skrev:

Smaragdalena skrev:

Visa föregående citat

HundÄlskare skrev:

Jag är helt borta nu, om svaret är $g\left(x\right)=0,02e^x$, hur ska jag tillämpa den? Jag har ingen anning vad är nästa steg nu när C är löst.

Läs  igenom uppgiften. Vad är det man frågar efter?

Bestäma $g\left(x\right)$ när $y\text{'}\left(6\right)=-13$

Ålltså hitta en variabel för (x) när funktionen av $y\text{'}\left(6\right)=-13$

Där funktionen av $y\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)*g\left(x\right)+f\left(x\right)*g\text{'}\left(x\right)$

Nej, du skall beräkna y-värdet för g(x) när y' = -13.

Vad är y'(x)?

Vad är y'(6)?

Smaragdalena skrev:

Nej, du skall beräkna y-värdet för g(x) när y' = -13.

Vad är y'(x)?

Vad är y'(6)?

y'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

$y\text{'}\left(6\right)=f\text{'}\left(6\right)*g\left(C{e}^6\right)+f\left(6\right)*C{e}^6$

y'(6)= -13 alltså att vi måste lösa C

$$\begin{gathered} C{e}^6*(-\frac{12}{2}-7)=-13 \\ C{e}^6=1 \\ C=\frac{1}{e^6} \end{gathered}$$

Hur är det då att g(x)=0,02e^x?

Är det eftersom $\frac{1}{e^6}\approx 0,0025$ ?

HundÄlskare skrev:

Smaragdalena skrev:

Nej, du skall beräkna y-värdet för g(x) när y' = -13.

Vad är y'(x)?

Vad är y'(6)?

y'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

$y\text{'}\left(6\right)=f\text{'}\left(6\right)*g\left(C{e}^6\right)+f\left(6\right)*C{e}^6$

y'(6)= -13 alltså att vi måste lösa C

$$\begin{gathered} C{e}^6*(-\frac{12}{2}-7)=-13 \\ C{e}^6=1 \\ C=\frac{1}{e^6} \end{gathered}$$

Hur är det då att g(x)=0,02e^x?

Är det eftersom $\frac{1}{e^6}\approx 0,0025$ ?

Det verkar vara korrekt svar men jag vet inte hur svaret 0,02e^x är korrekt.

Då blir det istället g(x)=0,002e^x