Produkt darivatan

Derivatan har två nollställen, $x=1$ och $x=e^{-2}$.

$(\ln(x))^2+2\ln(x)=0$

$\ln(x)(\ln(x)+2)=0$

Nollproduktmetoden ger:

$\ln(x)=0$

$x_1=0$

$\ln(x)+2=0$

$\ln(x)=-2$

$x_2=e^{-2}$

Värdena på vänsterledet för dessa punkter är $0$ respektive $4e^{-2}$. Det intressanta man vill undersöka är när dessa stationära punkter ligger på linjen $y=a$, vilket händer när $a=0$ eller när $a=4e^{-2}$.

Men om ln x = 0 då x = 1 och inte x = 0 eller?

ah3027al-s skrev:

Men om ln x = 0 då x = 1 och inte x = 0 eller?

 Ja x kommer vara 1 när ln x är noll, men a hör inte ihop med x utan med y, eller om du kallar det f(x). 

Logaritmfunktionen är bara definierad för positiva tal, så de enda tal $x$ som kan komma ifråga som lösningar till ekvationen $x\cdot (\ln x)^2 = a$ är positiva tal.

Du kräver alltså att $x>0$ och det medför att talet $x\cdot (\ln x)^2$ också är positivt. Om $a<>$ så är ekvationen därför omöjlig.

När är funktionen $f(x) = x(\ln x)^2$ (där $x>0$) växande och när är den avtagande?

Funktionens derivata är

    $f'(x) = (\ln x)^2 + 2\ln x = (1+\ln x)^2-1$

vilket visar att funktionen $f$ är strängt växande när

    $(1+\lnx)^2>1\iff \ln x > 0 \text{ eller } \ln x < -2\iff="" x="">1 \text{ eller } 0<><>$.

• På intervallet $1<><>$ växer funktionen från $f(1) = 0$ till $\infty$ och på intervallet $0<><>$ växer funktionen från $-\infty$ till $f(e^{-2}) = 4e^{-2}$.
• På intervallet $e^{-2}<><>$ avtar funktionen från $f(e^{-2}) = 4e^{-2}$ till $f(1) = 0$.