Problemlösning - visa att lösningen stämmer

Du har att $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{k}{y}$

Multiplicera bort $dt$ från VL och multiplicera bort y från HL så att vi nu har:

$dy \cdot y = dt \cdot k$. 

Integrera nu både HL och VL:

$\displaystyle \int y dy = \int k dt$

Kommer du vidare? 

Dracaena skrev:

Du har att $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{k}{y}$

Multiplicera bort $dt$ från VL och multiplicera bort y från HL så att vi nu har:

$dy \cdot y = dt \cdot k$. 

Integrera nu både HL och VL:

$\displaystyle \int y dy = \int k dt$

Kommer du vidare? 

Nej, jag tror inte det, antigen så handlar frågan om ett moment som vi inte har gått igenom än i kursen eller så anväder du ett annat sätt att lösa uppgiften. 

Jag tänker så här

Jag skrev så här istället: 

y´- k/y=0 

och skrev om y^2 till y=${(2k*t+c)}^{0.5}$

och sen driverade jag y och satte y och y´ i y´- k/y=0  

men det blir så krågligt sen att jag inte kommer vidare.

När vi stöter på en differentialekvation av typen $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{k}{y}$​, och vi vill hitta en funktion $y(t)$ som uppfyller ekvationen, kan vi använda separationsmetoden för att göra det. Separationsmetoden är en teknik som innebär att vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med lämpliga uttryck för att isolera $y$ och $t$ på olika sidor av ekvationen.

I det här fallet multiplicerade vi båda sidorna med $y$ och $dt$ för att få $dy \cdot y=dt \cdot k$. Efter det har vi $y$ och $t$ på olika sidor av ekvationen, vilket gör det möjligt för oss att integrera båda sidorna med avseende på respektive variabel.

Att vi kan integrera båda sidor av ekvationen beror på att integration är en linjär operation, vilket innebär att om vi har två sidor av en ekvation och båda är lika med varandra, kommer deras integraler också att vara lika med varandra. Därför kan vi skriva: $\displaystyle \int y \cdot dy = \int k \cdot dt$

Genom att lösa dessa integraler får vi en lösning till differentialekvationen. I det här fallet får vi: ​$y^2=kt+C$, där C är en integrationskonstant.

Dracaena skrev:

När vi stöter på en differentialekvation av typen $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{k}{y}$​, och vi vill hitta en funktion $y(t)$ som uppfyller ekvationen, kan vi använda separationsmetoden för att göra det. Separationsmetoden är en teknik som innebär att vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med lämpliga uttryck för att isolera $y$ och $t$ på olika sidor av ekvationen.

I det här fallet multiplicerade vi båda sidorna med $y$ och $dt$ för att få $dy \cdot y=dt \cdot k$. Efter det har vi $y$ och $t$ på olika sidor av ekvationen, vilket gör det möjligt för oss att integrera båda sidorna med avseende på respektive variabel.

Att vi kan integrera båda sidor av ekvationen beror på att integration är en linjär operation, vilket innebär att om vi har två sidor av en ekvation och båda är lika med varandra, kommer deras integraler också att vara lika med varandra. Därför kan vi skriva: $\displaystyle \int y \cdot dy = \int k \cdot dt$

Genom att lösa dessa integraler får vi en lösning till differentialekvationen. I det här fallet får vi: ​$y^2=kt+C$, där C är en integrationskonstant.

Hmm, det har vi inte jobbat med innan! Tack för svaret, ska läsa och försöka förstå detta 

Om ni inte har lärt er om seperationsmetoden ännu kan du gå åt andra hållet.

Derivata är också en linjär operation. Genom att derivera HL och VL m.a.p på $t$ kan vi komma tillbaka till ekvationen given i uppgiften. Tänk då på att $y$ är en funktion av $t$ så du måste applicera kedjeregeln.

En annan (och kanske enklare) lösningsmetod är att ta fram uttrycket för y(t), derivera det med avseende på t och visa att differentialekvationen är uppfylld.

Denna metod är ofta väldigt effektiv vid liknande uppgifter ("Visa att ... är en lösning till ...').

Yngve skrev:

En annan (och kanske enklare) lösningsmetod är att ta fram uttrycket för y(t), derivera det med avseende på t och visa att differentialekvationen är uppfylld.

Denna metod är ofta väldigt effektiv vid liknande uppgifter ("Visa att ... är en lösning till ...').

Ja det var det jag försökte att förklara, men det blev så krånkligt, jag tar bild på det och lägger det här.