Problemlösning uppgift

Hej

Börja med att ta fram funktionen du har två obekanta och kan ta fram två ekvationer, dvs: $y\left(0\right)=5$ och $y\left(5\right)=20$.

När du har tagit fram funktionen är det bara och derivera och lösa ut vad $y\text{'}\left(6\right)$ är.

Du vet att $5=Ca^0$

och $20=Ca^5$

Vad är $C$ och $a$? 

pi-streck=en-halv skrev :

Du vet att $5=Ca^0$

och $20=Ca^5$

Vad är $C$ och $a$? 

Jadu, jag vet faktiskt hur jag ska ta reda på det? 

jonis10 skrev :

Hej

Börja med att ta fram funktionen du har två obekanta och kan ta fram två ekvationer, dvs: $y\left(0\right)=5$ och $y\left(5\right)=20$.

När du har tagit fram funktionen är det bara och derivera och lösa ut vad $y\text{'}\left(6\right)$ är.

Jo, förstod att man först måste ta fram en funktion för att kunna derivera, men har problem med att ta fram en sådan, hur ska jag gå tillväga? Kanske att jag ska ersätta det med C*a^x? 

Du får:

$$\begin{gathered} 5=C·a^0\iff 5=C \\ 20=5a^5\iff 4=a^5 \end{gathered}$$

Kommer du vidare?

jonis10 skrev :

Du får:

$$\begin{gathered} 5=C·a^0\iff 5=C \\ 20=5a^5\iff 4=a^5 \end{gathered}$$

Kommer du vidare?

Nope, tyvärr inte, försöker förstå innebörden av det du skrivit den andra raden (alltså 20=5a5---- 4=a^5. Ser att jag kan derivera 5a^5 till 25a^4 

Nu vill du lösa ut vad $a$ är vilket är samma sak som: $4=a^5\iff 4^{\frac{1}{5}}=a$.

Nu har vi tagit fram funktionen $y=5·4^{\frac{1}{5}x}$, kommer du vidare nu? 

jonis10 skrev :

Nu vill du lösa ut vad $a$ är vilket är samma sak som: $4=a^5\iff 4^{\frac{1}{5}}=a$.

Nu har vi tagit fram funktionen $y=5·4^{\frac{1}{5}x}$, kommer du vidare nu? 

Blir y' 5* 1/5*4(1/5)x? 

Hej!

Exponentialfunktionen $y(x) = C a^{x}$ har derivatan $y'(x) = Ca^{x} \ln a\ .$

När $x = 6$ är derivatan därför lika med talet

    $y'(6) = Ca^{6} \ln a.$

För att bestämma exakt vilket detta tal är måste vi bestämma talen $C$ och $a.$

• En sak vi kan säga om talet $a$ är att det måste vara positivt, eftersom man inte kan beräkna $\ln a$ om $a$ är negativt. 

Vi får veta att när $x = 0$ så är exponentialfunktionen $y(0) = 5.$ Det säger oss att

   $5 = C a^{0}$

och eftersom $a^{0} = 1$, oavsett vilket positivt tal $a$ än är, så vet vi att

    $C = 5.$

Derivatan $y'(6)$ är alltså lika med $5a^{6}\ln a$ så det återstår att bestämma talet $a.$

Vi får veta att när $x = 5$ så är exponentialfunktionen $y(5) = 20.$ Det säger oss att

    $20 = 5 a^{5}\ .$

Eftersom $20 = 5 \cdot 4$ så har vi att

    $5 \cdot 4 = 5 \cdot a^{5}$ vilket är samma sak som att $4 = a^{5}\ .$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Exponentialfunktionen $y(x) = C a^{x}$ har derivatan $y'(x) = Ca^{x} \ln a\ .$

När $x = 6$ är derivatan därför lika med talet

    $y'(6) = Ca^{6} \ln a.$

För att bestämma exakt vilket detta tal är måste vi bestämma talen $C$ och $a.$

• En sak vi kan säga om talet $a$ är att det måste vara positivt, eftersom man inte kan beräkna $\ln a$ om $a$ är negativt. 

Vi får veta att när $x = 0$ så är exponentialfunktionen $y(0) = 5.$ Det säger oss att

   $5 = C a^{0}$

och eftersom $a^{0} = 1$, oavsett vilket positivt tal $a$ än är, så vet vi att

    $C = 5.$

Derivatan $y'(6)$ är alltså lika med $5a^{6}\ln a$ så det återstår att bestämma talet $a.$

Vi får veta att när $x = 5$ så är exponentialfunktionen $y(5) = 20.$ Det säger oss att

    $20 = 5 a^{5}\ .$

Eftersom $20 = 5 \cdot 4$ så har vi att

    $5 \cdot 4 = 5 \cdot a^{5}$ vilket är samma sak som att $4 = a^{5}\ .$

Albiki

Förstår ändå inte hur svaret blir cirka 7,3? 

Jag skrev i tidigare att funktionen är:

 $$\begin{gathered} y=5·4^{\frac{1}{5}x}\Rightarrow y\text{'}=5·\frac{1}{5}·\ln \left(4\right)·4^{\frac{1}{5}x}=\ln \left(4\right)·4^{\frac{1}{5}x}\Rightarrow \\ y\text{'}\left(6\right)=\ln \left(4\right)·4^{\frac{6}{5}}\approx 7,3 \end{gathered}$$