Problemlösning procent

Hur gör man?  
Hur hänger begreppen ihop?

Börja med att gå till din mattebok och läs (eller läs om) kapitlet om räntor och lån. Kolla särskilt vad det står om annuitetslån och studera de (lösta) exempel som berör det. Då kommer du snart att förstå hur du ska tänka här.

Du kommer t ex att se att detta lån är ett två-årigt annuitetslån, därför att 
man gottgör det i form av två lika stora årliga betalningar (annuiteter).
Annuiteterna innehåller både återbetalning (amortering) och ränta. 

Summan av annuiteterna, 30+30 = 60, är därför större än lånebeloppet, 50.
Sammanlagd återbetalning (amortering) är däremot alltid lika med lånebeloppet, varken mer eller mindre. Skillnaden består därför av de sammanlagda räntebetalningarna.

Om räntesatsen vore 0% skulle annuiteterna vara lika med halva lånebeloppet, 25+25=50. Då är det enbart återbetalning (amortering) och ingen ränta. Nu är de i stället 30+30 = 60, som är större än lånebeloppet, 50. Ju högre räntesats, desto större annuitet. Hur stor är då den årliga räntesatsen för det här lånet?  Det ska vi reda ut.

Läs nu i matteboken och kom igen med ett nytt försök.

Fråga gärna på vägen!

[För ordningens skull:  
Ditt ekvationssystem är inget ekvationssystem.
Det är två oförenliga ekvationer med samma obekant.
Och vad står  x  för?   Vi glömmer det och går vidare.]  

Vad stod det i matteboken?

Resonemanget ovan är faktiskt tillräckligt för att man ska kunna bestämma räntesatsen. Det gäller “bara” att ge det ekonomiska resonemanget en lämplig matematisk form.  Sedan är det “lätt”.

Här är ett förslag:

Låt årsräntesatsen vara  100·r %.
Första årets ränta på skulden ingår i den första annuiteten:

     rta1 = 50·r

Resten av annuiteten är därför lika med den första amorteringen:

     am1 = 30 – 50·r

När den första annuiteten är betald, har skulden minskat till

     50 – am1 = 50 – (30 – 50·r) = 20 + 50·r

Det är på denna kvarstående skuld som det andra årets ränta ska beräknas:

     rta2 = (20 + 50·r)·r

Det andra årets amortering är här den sista amorteringen på lånet.  
Den är därför lika med den kvarstående skulden:

     am2 = 20 + 50·r

Detta ger sambanden:

     rta1 + rta2 = 50·r + (20 + 50·r)·r = 70·r + 50·r^2           ∑ räntor

     am1 + am2 = (30 – 50·r) + (20 + 50·r) = 50                     ∑ amort (= lånebeloppet)

Om vi adderar dem ledvis [och minns att   (rta1+am1) = (rta2+am2) = 30  ],
så får vi ekvationen:  

     30 + 30  =  70·r + 50·r^2 + 50                 ∑ ann = ∑ räntor + ∑ amort

     50· r^2 + 70·r = (30 + 30) – 50                ∑ räntor = ∑ ann – ∑ amort

som kan skrivas

     50· r^2 + 70·r – 10 = 0  

Lös ekvationen!

I exemplet ovan handlar det om ett två-årigt annuitetslån. Det betalar man tillbaka med ränta i form av två lika stora årliga betalningar (annuiteter). Annuiteterna innehåller både återbetalning (amortering) och ränta. 

Vi lånar 50 kkr (50 000 kr) på två år. Lånet är återbetalt med ränta, 
om vi betalar 30 kkr om ett år och ytterligare 30 kkr om två år. 

Ett annat resonemang för att bestämma årsräntesatsen:

     Om årsräntesatsen är 100·r %, så är banken nöjd med att få

     (1)      50(1+r)^2  om två år. 

     Banken är lika nöjd med att få [30 om ett år] och [30 om två år].
     Med samma räntesats är dessa belopp värda

     (2)       [30(1+r) + 30]  om två år

     För banken är därför beloppen (1) och (2) lika mycket värda. 
     Det ger ekvationen

     (3)       50(1+r)^2 = 30(1+r) + 30

     och den gör det möjligt att bestämma årsräntesatsen.

Lös ekvationen!

… och visa (på vägen) att den kan skrivas som   50·r^2 + 70·r – 10 = 0 ,
dvs som vår förra ekvation. Dessa är alltså två former av samma ekvation – de är samma ekvation i två olika skepnader.

(forts. följer)

Resonemanget ovan har fördelen att vara lätt att generalisera:

     Låt skulden vara     s      penningenheter
     årsräntesatsen        r = 100·r %
     annuiteten                a     penningenheter
     lånets löptid             n     år

För  n = 2  , som i vårt exempel med 2 annuiteter, ger det ekvationen:

     s(1+r)^2 = a(1+r) + a                                 (visa det!)

För  n = 3  , med 3 annuiteter, ger samma resonemang ekvationen:

      s(1+r)^3 = a·(1+r)^2 + a(1+r) + a          (visa det!)

Om löptiden är  n  år, blir det  n  årliga annuiteter, och samma resonemang ger ekvationen:

     s(1+r)^n = a·(1+r)^(n-1) + a·(1+r)^(n-2) + … + a·(1+r) + a         (visa det!)

som är en form av det allmänna sambandet mellan  s,  r ,  a  och  n. 

Det följande går att visa, men jag tror inte att resultaten ingår i gymnasiekursen
Vi ser att högra ledet är en geometrisk talföljd.
Med hjälp av formeln för summan av en geometrisk talföljd kan vi därför skriva ekvationen så här:

     s(1+r)^n = a·[(1+r)^n – 1] / r                    (visa det!)

Dividerar vi båda led med  (1+r)^n  får ekvationen formen:

     s = a·[1 – 1/(1+r)^n] / r                              (visa det!)

Ur den får man detta uttryck för  annuiteten när  s,  r  och n  är givna.

     a = s · r / [1 – 1/(1+r)^n] 

Faktorn   r / [1 – 1/(1+r)^n]  =  â(r, n)   kallas annuitetsfaktorn  för  r  och  n.

Om skulden är   s   blir då   a = s· â(r, n)  och  â(r, n)  är lätt att  fördefiniera i ett kalkylprogram.
Se t ex    https://sv.wikipedia.org/wiki/Annuitetslån

Exempel
En 5-årig annuitet för ett lån på 50 kkr (50 000 kr) vid räntesatsen 13,1% blir då

  50·â(13,1%, 5)  =  50·0,131 / [1 – 1/(1,131)^5]  ≈  14,2504 kkr  (≈  14 250 kr)

Tackkk