Problemlösning periodisk funktion

Vi börjar med att konstatera att facit har fel, tycker jag. Hur kan man veta att det är fel i facit? Jo, för det första frågar de efter "den andra tidpunkten", d.v.s. singular. Då kan man inte svara med 2 tidpunkter. Koncentrationen är 28 två gånger per vecka. Den ena gången kl 12 på onsdag. Den andra är okänd. Deras första svar t=0,92 skulle innebära att koncentrationen är 28 strax innan midnatt mellan söndag och måndag vilket strider mot "minskar under veckosluten". Alltså, ignorerar vi facit och försöker lösa uppgiften!

Du har tänkt helt rätt och om jag sätter in dina värden på a, b, c och d så får jag den svarta grafen:Här har jag dessutom ritat in grafer för d=0 (blå) och d=2 (röd). Värdet på d förskjuter alltså kurvan med d dygn. Med ditt d=3,04 så är koncentrationen 28 och stigande vid t=3,5 helt enligt frågetexten. (förmodligen ritade du en annan graf när du läste av t=-0,92) Själva frågan gäller den andra tidpunkten då koncentrationen är 28. Från den svarta grafen ser vi att det händer någonstans runt t=6.

Att lösa detta utan miniräknare är ju inte helt lätt. Ett par steg på vägen utan miniräknare kan man ta sig.

$$\begin{gathered} 28=M\left(t\right)=a+b\sin \left(\frac{2\pi }{c}\right(t-d\left)\right) \\ \iff \\ \sin \left(v\right)=\sin \left(\frac{2\pi }{c}\right(t-d\left)\right)=\frac{28-a}{b}=0,4, där alltså v=\frac{2\pi }{c}(t-d) \end{gathered}$$

vi söker alltså vinklar vars sinusvärde är 0,4. Enhetscirkeln kanske du känner till. Där ser vi hur vinklarna ligger:Om vi struntar i $2\pi$-multipler (de svarar mot veckorna före och efter den vi studerar) så är det 2 intressanta vinklar, v₁ och v₂. Ur figuren ser man att $v_2=\pi -v_1$. Om jag skulle fortsätta utan miniräknare så skulle jag mäta v₁ och räkna ut v₂. Sen kan man räkna ut t med:

$v_2=\frac{2\pi }{c}(t-d)$

Tack Peter för ett så ordentligt svar!

Mycket nyttigt att se dina resonemang.

Uppgiften är från nya Ma4 5000+ så något fel här och där får man väl räkna med.