Problemlösning med linjär optimering

Vad är det du kallar y respektive x? Är det antalet billiga pianon om är y och antalet dyra pianon som är x?

Du har skrivit både att y≤19 och att y≤24. Menar du egentligen att x+y≤24 (p g a begrändat lagerutrymme)?

Hur många pianon av varje slag kan de köpa in utan att deras kapital tar slut?

Rita in alla dessa begränsningar i ett diagram.

Hur mycket pengar får de in om de säljer x dyra och y billiga pianon? Det ä rdenna funktion du (eller snarare Ingrid och Lars) vill maximera.

Smaragdalena skrev:

Vad är det du kallar y respektive x? Är det antalet billiga pianon om är y och antalet dyra pianon som är x?

Du har skrivit både att y≤19 och att y≤24. Menar du egentligen att x+y≤24 (p g a begrändat lagerutrymme)?

Hur många pianon av varje slag kan de köpa in utan att deras kapital tar slut?

Rita in alla dessa begränsningar i ett diagram.

Hur mycket pengar får de in om de säljer x dyra och y billiga pianon? Det ä rdenna funktion du (eller snarare Ingrid och Lars) vill maximera.

Sitter fortfarande fast med uppgiften. 

Ja jag menade x+y≤24 samt x+y≤19 (då de bara kan köpa in 19 stycken pianon). 
Jag vet att jag kan applicera linjär optimering - för att få fram det maximala värdet - men har problem med att sätta upp ett uttryck samt bestämma ett uttryck för de bivillkor som gäller för uppgiften. 

Det stämmer att x+y≤24 (de har plats att förvara max 24 stycken pianon) men det stämmer inte att x+y≤19 - det stämmer som du skriv tidigare att y≤19 (eftersom det inte fanns mer än 19 billigare pianon att köpa).

Skriv in dina villkor till rätalinjer, d v s på formen y=kx+m, och rita in de fyra linjerna i ett koordinatsystem. Markera det tillåtna området och lägg in bilden här.

Smaragdalena skrev:

Det stämmer att x+y≤24 (de har plats att förvara max 24 stycken pianon) men det stämmer inte att x+y≤19 - det stämmer som du skriv tidigare att y≤19 (eftersom det inte fanns mer än 19 billigare pianon att köpa).

Skriv in dina villkor till rätalinjer, d v s på formen y=kx+m, och rita in de fyra linjerna i ett koordinatsystem. Markera det tillåtna området och lägg in bilden här.

4 linjer? Du menar tillsammans med x större eller lika med 0 samt y större eller lika med 0? (har tyvärr ej tecknet från mobilen)

På räta linjen - dvs.

y=24-x

Y=19 

Stämmer detta? 

Som jag skrev tidigare:

Skriv in dina villkor till räta linjer, d v s på formen y=kx+m, och rita in de fyra linjerna i ett koordinatsystem. Markera det tillåtna området och lägg in bilden här.

Dina fyra linjer ser ut att stämma, under förutsättning att du menar y när du skriver Y.

Smaragdalena skrev:

Som jag skrev tidigare:

Skriv in dina villkor till räta linjer, d v s på formen y=kx+m, och rita in de fyra linjerna i ett koordinatsystem. Markera det tillåtna området och lägg in bilden här.

Dina fyra linjer ser ut att stämma, under förutsättning att du menar y när du skriver Y.

Jag får då följande hörnpunkter:

(0,0)

(24,0)

(0,19)

(5,19)

Rätt?

anonymousnina skrev:

Jag får då följande hörnpunkter:

(0,0)

(24,0)

(0,19)

(5,19)

Rätt?

EDIT - missade ett villkor. Hörnpunkterna stämmer inte.

Ja det är rätt.

Kan du visa din bild av det tillåtna området?

Hur mycket pengar får de in om de säljer x dyra och y billiga pianon? Det är denna funktion du (eller snarare Ingrid och Lars) vill maximera.

Smaragdalena skrev:

Hur mycket pengar får de in om de säljer x dyra och y billiga pianon? Det är denna funktion du (eller snarare Ingrid och Lars) vill maximera.

Det förstår jag. Men hur kan jag skriva det till ett funktionsuttryck som jag kan då sätta in värdena som hörnpunkterna gett mig? 

anonymousnina skrev:

Det förstår jag. Men hur kan jag skriva det till ett funktionsuttryck som jag kan då sätta in värdena som hörnpunkterna gett mig? 

Kalla vinstfunktionen V.

Värdet av V beror dels på x, dels på y.

För varje piano av den dyrare modellen de köper in och säljer är vinsten 45000 kronor. Om de köper in och säljer x pianon av den modellen så blir detta bidrag till V alltså lika med 45000•x kronor.

För varje piano av den enklare modellen de köper in och säljer är vinsten 30000 kronor. Om de köper in och säljer y pianon av den modellen så blir detta bidrag till V alltså lika med 30000•y kronor.

Den totala vinsten V är summan av dessa bidrag.

Kan du då ställa upp ett uttryck för V?

Hur mycket tjänar de på att sälja ett dyrt piano? Hur mycket tjänar de på att sälja x stycken dyra pianon?

Hur mycket tjänar de på att sälja ett billigt piano? Hur mycket tjänar de på att sälja y stycken billiga pianon?

 Hur mycket tjänar de på att sälja x stycken dyra och y stycken billiga pianon?

Jag upptäcker nu att det är ett villkor som saknas i din lösning, nämligen att Ingrid och Lars har ett begränsat startkapital.

Det finns alltså ytterligare en övre begränsning på antalet pianon de kan köpa.

Om vi tar med detta nya villkor så stämmer inte dina tidigare angivna hörnpunkter.

(Jag har redigerat mitt svar ovan på din fråga om hörnpunkterna stämmer.)

-----------------

Kan du formulera bivillkoret kring startkapitalet med hjälp av x och y, rita en bild av det tillåtna området och visa oss?

Hej!

Företaget köper $x$ stycken avancerade pianon och $y$ stycken enkla pianon som de köper till priset $70000x + 50000y$ kronor. Om det säljer samtliga pianon får företaget in $115000x + 80000y$ kronor, och dess vinst är $(115000-70000)x+(80000-50000)y$ kronor.

Förutsättningarna är $0\leq y \leq 19$ och $0\leq x$ och $0\leq x+y\leq 24.$

Albiki skrev:

Hej!

Företaget köper $x$ stycken avancerade pianon och $y$ stycken enkla pianon som de köper till priset $70000x + 50000y$ kronor. Om det säljer samtliga pianon får företaget in $115000x + 80000y$ kronor, och dess vinst är $(115000-70000)x+(80000-50000)y$ kronor.

Förutsättningarna är $0\leq y \leq 19$ och $0\leq x$ och $0\leq x+y\leq 24.$

Nej det stämmer inte. Förutsättningen att startkapitalet är begränsat saknas.

Yngve skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Företaget köper $x$ stycken avancerade pianon och $y$ stycken enkla pianon som de köper till priset $70000x + 50000y$ kronor. Om det säljer samtliga pianon får företaget in $115000x + 80000y$ kronor, och dess vinst är $(115000-70000)x+(80000-50000)y$ kronor.

Förutsättningarna är $0\leq y \leq 19$ och $0\leq x$ och $0\leq x+y\leq 24.$

Nej det stämmer inte. Förutsättningen att startkapitalet är begränsat saknas.

Dvs y mindre eller lika med 1 400 000?

anonymousnina skrev:

Yngve skrev:

Nej det stämmer inte. Förutsättningen att startkapitalet är begränsat saknas.

Dvs y mindre eller lika med 1 400 000?

Nej y är ju antalet enklare pianon de köper.

De ska köpa x avancerade pianon à 70 000 kronor styck och y enklare pianon à 50 000 kronor styck. Det kostar totalt 70 000•x + 50 000•y kronor.

Denna summa måste vara mindre än eller lika med 1 400 000 kronor.

Yngve skrev:

anonymousnina skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

Visa föregående citat

Nej det stämmer inte. Förutsättningen att startkapitalet är begränsat saknas.

Dvs y mindre eller lika med 1 400 000?

Nej y är ju antalet enklare pianon de köper.

De ska köpa x avancerade pianon à 70 000 kronor styck och y enklare pianon à 50 000 kronor styck. Det kostar totalt 70 000•x + 50 000•y kronor.

Denna summa måste vara mindre än eller lika med 1 400 000 kronor.

Hur kan jag skriva det som ett bivillkor då? 

anonymousnina skrev:

Hur kan jag skriva det som ett bivillkor då? 

• De ska köpa in $x$ avancerade och $y$ enklare pianon. För att kunna göra det måste de betala $70000x+50000y$ kronor, är du med på det?
• De har bara $1400000$ kronor att köpa pianon för, är du med på det?
• Summan de ska betala måste vara mindre än eller lika med mängden pengar de har, är du med på det?

Den sista punkten går att formulera som en olikhet.

Om du ändå inte kommer på hur den ska se ut kan du ...

Hur mycket kostar ett dyrt piano? Hur mycket kostar x stycken dyra pianon?

Hur mycket kostar ett billigt piano? Hur mycket kostar x stycken billiga pianon?

Hur mycket kostar x stycken dyra och y stycken billiga pianon tillsammans? Det är detta som skall vara mindre än (eller lika med) den summa de har till sitt förfogande.

Smaragdalena skrev:

Hur mycket kostar ett dyrt piano? Hur mycket kostar x stycken dyra pianon?

Hur mycket kostar ett billigt piano? Hur mycket kostar x stycken billiga pianon?

Hur mycket kostar x stycken dyra och y stycken billiga pianon tillsammans? Det är detta som skall vara mindre än (eller lika med) den summa de har till sitt förfogande.

Så de bivillkor som gäller är: 

0≤y≤19

0≤x 

0≤y

x+y≤24

70000x+50000y≤1400000

Jag kan skriva om det till y=kx+m --> 

70 000x+50 000y=1 400 000 --> 50 000y=-70 000x+1 400 000 (dela med 50 000 på båda sidor)= y=-1,4x+28 
y=24-x 
y=19 
Stämmer detta nu? 

anonymousnina skrev:

Så de bivillkor som gäller är: 

0≤y≤19

0≤x 

0≤y

x+y≤24

70000x+50000y≤1400000

Jag kan skriva om det till y=kx+m --> 

70 000x+50 000y=1 400 000 --> 50 000y=-70 000x+1 400 000 (dela med 50 000 på båda sidor)= y=-1,4x+28 
y=24-x 
y=19 
Stämmer detta nu? 

Ja nu stämmer det.

Har du ritat området?

Om ja, visa bilden.

Om nej, gör det och visa bilden.

Yngve skrev:

anonymousnina skrev:

Så de bivillkor som gäller är: 

0≤y≤19

0≤x 

0≤y

x+y≤24

70000x+50000y≤1400000

Jag kan skriva om det till y=kx+m --> 

70 000x+50 000y=1 400 000 --> 50 000y=-70 000x+1 400 000 (dela med 50 000 på båda sidor)= y=-1,4x+28 
y=24-x 
y=19 
Stämmer detta nu? 

Ja nu stämmer det.

Har du ritat området?

Om ja, visa bilden.

Om nej, gör det och visa bilden.

Får hörnpunkterna 

(0,0)

(10,14)

(20,0)

(0,19)

I vad ska jag sätta dessa hörnpunkter i?

(tyvärr går ej o ladda upp bild, står för få minne trots att jag har tillräckligt). 

anonymousnina skrev:

Får hörnpunkterna 

(0,0)

(10,14)

(20,0)

(0,19)

I vad ska jag sätta dessa hörnpunkter i?

(tyvärr går ej o ladda upp bild, står för få minne trots att jag har tillräckligt). 

Har du verkligen ritat?

Då skulle du se att det är 5 hörnpunkter, inte 4.

När du hittat alla hörnpunkter ska du ta fram vinstfunktionens värde i respektive hörn.

Jag gav ledtråd till vinstfunktionen V i detta svar.

Albiki beskrev den explicit i detta svar.

--------

Om det står att det inte är tillräckligt minne vid uppladdning av bild så kanske det beror på att bildfilen är för stor. Pröva att använda lägre upplösning på kameran.

E29Yngve skrev:

anonymousnina skrev:

Får hörnpunkterna 

(0,0)

(10,14)

(20,0)

(0,19)

I vad ska jag sätta dessa hörnpunkter i?

(tyvärr går ej o ladda upp bild, står för få minne trots att jag har tillräckligt). 

Har du verkligen ritat?

Då skulle du se att det är 5 hörnpunkter, inte 4.

När du hittat alla hörnpunkter ska du ta fram vinstfunktionens värde i respektive hörn.

Jag gav ledtråd till vinstfunktionen V i detta svar.

Albiki beskrev den explicit i detta svar.

--------

Om det står att det inte är tillräckligt minne vid uppladdning av bild så kanske det beror på att bildfilen är för stor. Pröva att använda lägre upplösning på kameran.

Jag ritade upp alla, men fick det till bara 4 hörnpunkter. Vilken är den femte menar du?

(10,14) är punkten där skärningspunkten är för y=24-x samt y=-1,5x+28

V(x) =70000x+50000y

Så där? 

Rita in linjerna i WolframAlpha och lägg in en länk här. Jag ritade nyss, och ser att det blir 5 hörn. En av dina fyra punkter ligger inte i det tillåtna området.

EDIT: Jag hade fel - jag hade läst det som (0,20) och det skulle ha legat utanför, men det var (0,19) och (20,0) som jag hade blandat ihop.

anonymousnina skrev:

Jag ritade upp alla, men fick det till bara 4 hörnpunkter. Vilken är den femte menar du?

(10,14) är punkten där skärningspunkten är för y=24-x samt y=-1,5x+28

V(x) =70000x+50000y

Så där? 

Det femte hörnet är där linjen y = 24 - x skär linjen y = 19, precis som tidigare.

Ja det är rätt vinstfunktion, fast den bör heta V(x, y) eftersom den beror både av x och y.

Smaragdalena skrev:

Rita in linjerna i WolframAlpha och lägg in en länk här. Jag ritade nyss, och ser att det blir 5 hörn. En av dina fyra punkter ligger inte i det tillåtna området.

EDIT: Jag hade fel - jag hade läst det som (0,20) och det skulle ha legat utanför, men det var (0,19) och (20,0) som jag hade blandat ihop.

Ok så alla mina punkter ligger alltså i det tillåtna området?

Och det femte hörnet är nu alltså (5,19). 

anonymousnina skrev:

Smaragdalena skrev:

Rita in linjerna i WolframAlpha och lägg in en länk här. Jag ritade nyss, och ser att det blir 5 hörn. En av dina fyra punkter ligger inte i det tillåtna området.

EDIT: Jag hade fel - jag hade läst det som (0,20) och det skulle ha legat utanför, men det var (0,19) och (20,0) som jag hade blandat ihop.

Ok så alla mina punkter ligger alltså i det tillåtna området?

Och det femte hörnet är nu alltså (5,19). 

Ja, hörnen är

(0:0)

(0:19)

(5:19)

(10:14)

(20:0)

Ser din figur över området ut så här?

(

Yngve skrev:

anonymousnina skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Rita in linjerna i WolframAlpha och lägg in en länk här. Jag ritade nyss, och ser att det blir 5 hörn. En av dina fyra punkter ligger inte i det tillåtna området.

EDIT: Jag hade fel - jag hade läst det som (0,20) och det skulle ha legat utanför, men det var (0,19) och (20,0) som jag hade blandat ihop.

Ok så alla mina punkter ligger alltså i det tillåtna området?

Och det femte hörnet är nu alltså (5,19). 

Ja, hörnen är

(0:0)

(0:19)

(5:19)

(10:14)

(20:0)

Ser din figur över området ut så här?

(

Använder du desmos? Det gjorde jag också först men fick ej fram något när jag skrev in y=-1,4x+28 -> så jag ritade för hand. 

Så v(x,y)=70 000x+50 000y 

Dvs: 
(0,0)=0 
(0,19)= 950 000
(20,0)= 1400 000
(5,19)=1 300 000
(10:14)= 1 400 000

Så den maximala vinsten ges på både (20,0) oh (10,14)

Stämmer detta? 

Hur gör jag sedan med B? Hur ska jag komma på ett bättre alternativ? 

anonymousnina skrev:

Använder du desmos? Det gjorde jag också först men fick ej fram något när jag skrev in y=-1,4x+28 -> så jag ritade för hand. 

Så v(x,y)=70 000x+50 000y 

Dvs: 
(0,0)=0 
(0,19)= 950 000
(20,0)= 1400 000
(5,19)=1 300 000
(10:14)= 1 400 000

Så den maximala vinsten ges på både (20,0) oh (10,14)

Stämmer detta? 

Hur gör jag sedan med B? Hur ska jag komma på ett bättre alternativ? 

Ajdå, slarvigt av mig. Jag svarade fel i detta svar. Vinstfunktionen är fel. Den ska vara V(x,y) = 45000x + 30000y, eftersom de tjänar 45000 kronor på varje avancerat piano (115000 - 70000) och 30000 kronor på varje enklare piano (80000 - 50000). Så det stämmer alltså inte. Men hörnen är rätt :-)

------------

Ja jag använde Desmos. Jag tror att orsaken att du inte fick fram något var att linjerna var utanför det synliga området. Klicka på minustecknet till höger för att zooma ut (eller nyp med två fingrar på mobilen).

----------

B-uppgiften: Fundera på vad som händer med det tillåtna området i grafen om du tar bort begränsningen av antalet y-pianon. Hur ser området ut då? Försvinner några hörn? Tillkommer det några? Vad händer med vinstfunktionen i dessa borttagna/tillagda hörn?

Här kan det löna sig att rita in vinstfunktionen som en rät linje i din figur.

Rita till exempel linjerna

V(x, y) = 200000

V(x,y) = 500000

V(x,y) = 1000000

Ser du något mönster?

Hej!

Det gäller att maximera funktionen $f(x,y)=3x+2y$ under de fyra bivillkoren,

    $0\leq y \leq 19$ och $0\leq x$ och $0 \leq x+y\leq 24$ och $0\leq 7x+5y\leq 140$

eftersom företagets vinst kan uttryckas som $15000 \cdot (3x+2y).$

I Desmos ser man att bivillkoren tillsammans skapar en femhörning, och genom att rita in några linjer $3x+2y=c$ för olika värden på $c$ (talen 48, 58 och 60) ser man att det största värdet som $f(x,y) = 3x+2y$ kan anta är värdet $60$ och att det sker när $x=20$ och $y=0$. 

Resultat: Företagets vinst blir störst om det satsar på avancerade pianon; om det köper in $20$ stycken avancerade pianon (och inga enkla pianon) blir vinsten $15000 \cdot 60 = 900000$ kronor.

Den "naiva" strategin är ju att i första hand försöka sälja den typ av pianon som ger bäst procentuell förtjänst.

Billiga pianon: $\frac{80000}{50000}-1=0,6=60$ %.

Dyra pianon: $\frac{115000}{70000}-1\approx 0,64=64$ %.

Sedan behöver såklart också bivillkoren beaktas.

Yngve skrev:

anonymousnina skrev:

Använder du desmos? Det gjorde jag också först men fick ej fram något när jag skrev in y=-1,4x+28 -> så jag ritade för hand. 

Så v(x,y)=70 000x+50 000y 

Dvs: 
(0,0)=0 
(0,19)= 950 000
(20,0)= 1400 000
(5,19)=1 300 000
(10:14)= 1 400 000

Så den maximala vinsten ges på både (20,0) oh (10,14)

Stämmer detta? 

Hur gör jag sedan med B? Hur ska jag komma på ett bättre alternativ? 

Ajdå, slarvigt av mig. Jag svarade fel i detta svar. Vinstfunktionen är fel. Den ska vara V(x,y) = 45000x + 30000y, eftersom de tjänar 45000 kronor på varje avancerat piano (115000 - 70000) och 30000 kronor på varje enklare piano (80000 - 50000). Så det stämmer alltså inte. Men hörnen är rätt :-)

------------

Ja jag använde Desmos. Jag tror att orsaken att du inte fick fram något var att linjerna var utanför det synliga området. Klicka på minustecknet till höger för att zooma ut (eller nyp med två fingrar på mobilen).

----------

B-uppgiften: Fundera på vad som händer med det tillåtna området i grafen om du tar bort begränsningen av antalet y-pianon. Hur ser området ut då? Försvinner några hörn? Tillkommer det några? Vad händer med vinstfunktionen i dessa borttagna/tillagda hörn?

Här kan det löna sig att rita in vinstfunktionen som en rät linje i din figur.

Rita till exempel linjerna

V(x, y) = 200000

V(x,y) = 500000

V(x,y) = 1000000

Ser du något mönster?

Vinstfunktionen var fel ok, men allt annat stämmer? Så y=-1,4x+28 stämmer? Fick ju ut detta av 50000y=-70 000x+1 400 000

tomast80 skrev:

Den "naiva" strategin är ju att i första hand försöka sälja den typ av pianon som ger bäst procentuell förtjänst.

Billiga pianon: $\frac{80000}{50000}-1=0,6=60$ %.

Dyra pianon: $\frac{115000}{70000}-1\approx 0,64=64$ %.

Sedan behöver såklart också bivillkoren beaktas.

Hur kan man ta bivillkoren i beaktande? 

anonymousnina skrev:

Vinstfunktionen var fel ok, men allt annat stämmer? Så y=-1,4x+28 stämmer? Fick ju ut detta av 50000y=-70 000x+1 400 00

Ja y = -1,4x + 28 stämmer.

anonymousnina skrev:

tomast80 skrev:

Den "naiva" strategin är ju att i första hand försöka sälja den typ av pianon som ger bäst procentuell förtjänst.

Billiga pianon: $\frac{80000}{50000}-1=0,6=60$ %.

Dyra pianon: $\frac{115000}{70000}-1\approx 0,64=64$ %.

Sedan behöver såklart också bivillkoren beaktas.

Hur kan man ta bivillkoren i beaktande? 

Man kollar t.ex. på om man kan köpa ett jämnt antal dyra pianon för startkapitalet (det kan man), att man har plats för de dyra pianona (det har man). Alltså blir slutsatsen att bara köpa dyra pianon i detta fall.

En hake med uppgift a) är att vi inte kan beräkna vinsten, eftersom vi saknar uppgift. om företagets övriga kostnader. En bättre formulering skulle kunna se ut så här:

a) Bestäm det försäljningsprogram som under dessa förutsättningar ger maximal vinst.

När vi nu har alla begränsningar beskrivna i både ord och bild, kan det kanske vara läge för en mer renodlat ekonomisk lösning:

Här finns två slags pianon, Dyra och Billiga

Dyra köper man för 70 kkr och säljer för 115 kkr.
Varje dyrt piano bidrar till vinsten med 115-70 = 45 kkr (bidrag/st).

Billiga köper man för 50 kkr och säljer för 80 kkr.
Varje billigt piano bidrar till vinsten med 80-50 = 30 kkr (bidrag/st).

Hur många av varje sort ska de köpa (och sälja) för att bidraget (och därmed vinsten) ska bli så stort som möjligt?

Alla pianon tar lika mycket plats i lagret, som rymmer 24 st. Om lagerutrymmet är den enda begränsningen, ska de bara köpa Dyra, eftersom dessa ger högst bidrag per styck och därmed också per lagerplats.

Om pengar till inköp är den enda begränsningen, ska de köpa det piano som ger högst bidrag per inköpskrona. Dyra ger 45/70 ≈ 0,64 kr, Billiga ger 30/50 = 0,60 kr. Även här är det bäst att enbart köpa Dyra. [Det har tomast80 undersökt ovan.]

Men nu gäller båda begränsningarna! Lagret rymmer 24 pianon men pengarna (1,4 Mkr) räcker bara till 20, så man får nöja sig med det. Totalbidraget blir 20·45≈900 kkr

PS
Vänta lite. Nog skulle de kunna beställa 24 Dyra, betala 20 kontant och få 4 på kredit? Krediten kan de betala tillbaka redan när de fått betalt för de första tre sålda pianona. Totalbidraget blir då 24·45≈1080 kkr.

Eller beställa 12 i taget, så hinner nog lagret aldrig bli fullt?

Hur många pianon säljer de i månaden? Vi vet inget om fabrikens leveranstider och betalningsvillkor, inte heller om kundernas betalningsvillkor eller hur bra de är på att betala i tid.  En klart utbyggbar uppgift...