problemlösning med derivata

Prova att ansätta en allmän andragradsfunktion, d.v.s

$f(x)=ax^2+bx+c$

Vad blir f'(x)? Formulera och lös ett ekvationssystem. 

(Det finns även vissa "genvägar" man kan ta för att lösa uppgiften.)

Här har jag kladdat lite.

Men vet inte riktigt vad jag har gjort, har räknat ut C och b

Ska jag skrivare det på ett bättre sätt så att man kan följa tråden?

Kunskap=Nyckel skrev:

Men vet inte riktigt vad jag har gjort, har räknat ut C och b

Vad har du gjort? Visa!

Tillägg: 4 dec 2021 16:19

Så långt har jag kommit

Vad är f'(4)?

Tillägg: 4 dec 2021 16:34

Är jag på rätt spår?

Delvis på rätt spår. 

Du löser uppgiften genom att använda kända värden på f(4), f'(5) och f'(4). 

(Värdet på f'(4) är inte givet rent explicit, men ...)

hmmm, hur ska jag göra då?

Kunskap=Nyckel skrev:

Uppgift 6:

Minimipunkt (4,8) och f´(5)=4

Minimipunkt för x = 4. 

f'(4) = ?

ska jag derivera funktionen och sätta x=4, eller är svaret 8

Tillägg: 4 dec 2021 19:40

Jag ska kanske skapa en funktion med informationen (4,8)?

Vad är derivatan i en minimipunkt?

o

lutningen är då noll

Ja, så vad är här värdet på f'(4)?

noll

Ja, så alltså

f(4) = 8

f'(4) = 0

f'(5) = 4

Detta ger dig ett ekvationssystem med tre obekanta ( a, b och c) och tre ekvationer. 

jag vet inte riktigt hur ekvationssystemet ska se ut

varför tittar du på f´(4)? är det ngt man ska använda senare även om man inte frågar om det i uppgiften?

Du måste på något sätt använda att du har ett minimum för x = 4, vilket ger f'(4) = 0. (Även f'(3) = -f'(5) = -4 skulle här funka, men känns nog mindre rättfram.)

f(4) = 8, så a*4² + b*4 + c = 8

f'(4) = 0, så 2*a*4 + b = 0

f'(5) = 4, så 2*a*5 + b = 4

ska jag göra en ekvationssystem av f´(4) och f´(5)

Tillägg: 5 dec 2021 15:50

Är det så man ska göra?

Nu har jag fått fram a = 2 och b=-16

ska man kanske sätta värdena för a och b i funktionen  16a+4b+c=8 ?

Tillägg: 5 dec 2021 16:07

eftersom att det är derivata så kanske det ska sättas i funktionen f´(x)=2ax+b ?

Så här har jag gjort nu

Om jag nu har gjort rätt så undrar jag över några saker. 

1. hur vet du att f´(4)= 0

2. Jag använda mig inte mycket av minimipunkten (4,8), jag satte in den i en funktionen som blev f(x)= 16a+4b+c=8. Men fanns det någon nytta med det. jag använde det inte senare?

Ja, vad blir då c? (f(4) = 8)  

40

1. hur vet du att f´(4)= 0

Eftersom (4,8) är en minimipunkt på kurvan. I en minimipunkt så är derivatan 0 (Om funktionen är deriverbar där.)

2. Jag använda mig inte mycket av minimipunkten (4,8), jag satte in den i en funktionen som blev f(x)= 16a+4b+c=8. Men fanns det någon nytta med det. jag använde det inte senare?

f(4) = 8 kommer att ge dig c. Att det är en minimipunkt ger här f'(4) = 0. 

sorry att jag ställer många frågor. Detta kommer att redovisas i en grupp med en lärare och läraren kommer ställa frågor om redovisningen (som tex varför kom du fram till detta och vad betyder detta egentligen osv)

Okej, nu förstår jag. Så tanken är att man ska skriva funktionen till f(x) med hjälp av info. Sedan ska funktionen f(x) deriveras till f´(x) och den ska man rita ut

Ser korrekt ut! Jag får samma svar med alternativ lösning:

Minimipunkt ger:

$f(x)=8+k(x-4)^2$ där $k>0$
$f'(x)=2k(x-4)=2kx-8k$
$f'(5)=2k\cdot 5-8k=4\Rightarrow$
$10k-8k=2k=4\Rightarrow$ $k=2\Rightarrow$
$f'(x)=2\cdot 2x-8\cdot 2=4x-16$

Vad Så det slutliga svaret för denna uppgift är f´(x)=4x-16

Din metod går mycket snabbare

Kunskap=Nyckel skrev:

Vad Så det slutliga svaret för denna uppgift är f´(x)=4x-16

Nej, det är själva funktionen (derivatan), men sen ska du rita den, vilket blir en rät linje, precis som du gjort i den sista grafen.

okej, Tack så mycket för hjälpen

Kunskap=Nyckel skrev:

Din metod går mycket snabbare

Ja, eftersom jag ansatte en funktion med en okänd parameter istället för tre. Då blev det bara en parameter att bestämma, vilket var enklare.

Där ser man, det finns olika vägar till samma mål.

Kunskap=Nyckel skrev:

Där ser man, det finns olika vägar till samma mål.

Precis. Med ökad erfarenhet kan man så småningom hitta de enklaste lösningarna. Alltid nyttigt att kunna lösa en uppgift på flera olika sätt.

Jo, håller med dig