Problemlösning med andelar

Låt $x$ vara antalet päronträd.

Andelen päronträd blir $\frac{päronträd}{päronträd + äppelträd}$eller$\frac{x}{180}$.

Denna andel fördubblas, det vill säga $\frac{tidigare päronträd + 10 nya päronträd}{tidigare träd + 10 nya päronträd}=2*\frac{tidigare päronträd}{tidigare träd}$=$\frac{(x+10)}{180+10}=\frac{2x}{180}$.

Säg till ifall du behöver mer hjälp!

P.S. tidigare träd är träden som Harald hade innan han odlade nya, kom inte på ett bättre sätt att formulera det :p

Okej, tack! Men jag förstår inte riktigt varför du dividerar x med 180? Hur ska det hjälpa dig att komma fram till hur många äpplen det finns? (:

.melody. skrev:

Okej, tack! Men jag förstår inte riktigt varför du dividerar x med 180? Hur ska det hjälpa dig att komma fram till hur många äpplen det finns? (:

$\frac{x}{180}$ är ett uttryck för en andel, i det här fallet är $x$ det okända antalet päronträd som ingår i samlingen av samtliga 180 träd.

Lös ekvationen och klura ut hur $x$förhåller sig till antalet äppelträd :)

Grundformeln:

$andelen=\frac{delen}{det hela}$

T ex om vi har 3 röda bilar av totalt 12 bilar så är andelen:

$andelen=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0,25$

x: antal päron

andelen päron $a=\frac{antalet päronträd}{total antalet träd}=\frac{x}{180}$

När antalet päronträd ökade med 10 så fördubblades andelen till 2a:

$2a=\frac{antalet päron innan+10}{totala antalet när 10 lagts till}=\frac{x+10}{180+10}=\frac{x+10}{190}$

Nu har du två uttryck:

$a=\frac{x}{180} och 2a=\frac{x+10}{190}$

Nu kan du säkert lösa ut x och få veta hur många päronträd det var från början. Och då kan räkna ut hur många äppelträd det är.

Jag förstår fortfarande inte hur jag ska ta ut x…

Du vet att 2a = (x+10)/190 och att a = x/180 så 2a = 2x/180 = x/90. Du kan alltså sätta upp ekvationen (x+10)/190 = x/90. Kan du lösa den?

Ja! Jag har löst den nu! Men jag bara undrar vad 2a står för? Är det den totala andelen?

Men sen när jag har NP så kommer ju ingen hjälpa mig att komma fram till svaret, hur ska jag göra då? :/

Gör fler liknande tal.

Titta på uppställningen ovan. Det blev två olika uttryck för andelen. Och vi visste att andelen fördubblades.

Det handlar i princip alltid om att hitta 1 eller 2 samband och sen lösa ut x. I det här talet blandade de in andelen för att få 2 samband så de krånglade till det en aning men samma princip som tal av typen:
224 däck och 64 fordon, hur många är bilar och hur många är motorcyklar?

Programmeraren skrev:

 

Visa spoiler

4x+2(64-x)=224

Jag bara undrar varför du bytte ut y mot 64-x? Jag förstör vad du gör, men jag förstör bara inte varför man gör så. Hur vet man när man ska göra så och när man inte ska göra så?

De två sambanden:
x+y=64               "64 fordon"
4x+2y=224       "224 däck sammanlagt och bilar har 4 däck och mc 2"

Är du med på det?

Har du 2 ekvationer och 2 obekanta så löser man ekvationssystemet genom att sätta in det ena i det andra:

Först skriver vi om ekvation ett:
x+y=64
x-x+y=64-x
y=64-x

Sen sätter vi in det uttrycket för y i ekvation två:
4x+2y=224
4x+2(64-x)=224

Okej, jag förstår! Har du fler liknande uppgifter som jag kan öva på?

Det verkar finnas många tidigare tal här på pluggakuten, jag sökte på "Problemlösning". En del är av en annan typ men välj några som känns bra.

Matte1:
https://www.pluggakuten.se/search?term=problemlösning&category=d7f584a3-124f-4c4b-a909-a58b01003e1c&sort=Relevance

Känns de svåra gör du först några som är frågade i "Åk9":
https://www.pluggakuten.se/search?term=problemlösning&category=2b3750ab-24c8-4d32-9268-a59900f30917&sort=Relevance

Ett annat område som jag tror ingår i Matte 1 numera och i så fall alltid är med på NP är räta linjens ekvation.

Ja precis, det stämmer

Smaragdalena skrev:

Du vet att 2a = (x+10)/190 och att a = x/180 så 2a = 2x/180 = x/90. Du kan alltså sätta upp ekvationen (x+10)/190 = x/90. Kan du lösa den?

Jag har en fråga. Kan man också lösa uppgiften genom att ställa upp ekvationen 2x/180 = x/90?

isåfall hur gör man då? För att jag försökte men då gick det inte (utan det gick endast om jag ställde upp ekvationen (x+10)/190 = x/90.)

.melody. skrev:

Smaragdalena skrev:

Du vet att 2a = (x+10)/190 och att a = x/180 så 2a = 2x/180 = x/90. Du kan alltså sätta upp ekvationen (x+10)/190 = x/90. Kan du lösa den?

Jag har en fråga. Kan man också lösa uppgiften genom att ställa upp ekvationen 2x/180 = x/90?

isåfall hur gör man då? För att jag försökte men då gick det inte (utan det gick endast om jag ställde upp ekvationen (x+10)/190 = x/90.)

Nej. Ekvationen 2x/180 = x/90 är sann för alla värden på x.

Uträkning med varenda litet steg utifall något är oklart (fortsättning på #5):

$$\begin{gathered} a=\frac{x}{180} \\ 2a=\frac{x+10}{190} \end{gathered}$$

Vi sätter in första uttrycket för a i den andra ekvationen:

$$\begin{gathered} 2\times \frac{x}{180}=\frac{x+10}{190} \\ \frac{2x}{180}=\frac{x+10}{190} \\ \frac{180 \times 2x}{180}=\frac{180(x+10)}{190} \\ \frac{\cancel{180} \times 2x}{\cancel{180}}=\frac{180(x+10)}{190} \\ 190\times 2x=\frac{180(x+10)}{190}\times 190 \\ 380x=\frac{180(x+10)}{\cancel{190}}\times \cancel{190} \\ 380x=180(x+10) \\ 380x=180x + 1800 \\ 200x=1800 \\ 2x=18 \\ x=9 päronträd från början \\ Eftersom det var 180 träd totalt är antalet äppelträd 180-9=179 \end{gathered}$$

Smaragdalena skrev:

.melody. skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Du vet att 2a = (x+10)/190 och att a = x/180 så 2a = 2x/180 = x/90. Du kan alltså sätta upp ekvationen (x+10)/190 = x/90. Kan du lösa den?

Jag har en fråga. Kan man också lösa uppgiften genom att ställa upp ekvationen 2x/180 = x/90?

isåfall hur gör man då? För att jag försökte men då gick det inte (utan det gick endast om jag ställde upp ekvationen (x+10)/190 = x/90.)

Nej. Ekvationen 2x/180 = x/90 är sann för alla värden på x.

Vad menar du med när du säger att de är sann för alla värden på x? 

Visa hur du försöker lösa ekvationen 2x/180 = x/90 så fortsätter vi därifrån!

Det är så långt jag kommer. 

(Men när jag använde ekvationen (x+10)/190 = x/90 så kom jag på svaret hur lätt som helst)

$\frac{180}{90}x=2x$

Kan du förenkla vänsterledet?

Ja, men asså då får jag ju 2x = 2x. Sen kommer jag ju inte nånvart.

Är du med på att 2x alltid är lika med 2x, vilket värde x än har?

Ja, självklart

Men det går väll inte att få reda på vad x är i denna situation? Enda sättet är väll att använda sig av ekvationen: (x+10)/190 = x/90

Ja precis.

Det beror på att 2x/180 och x/90 är samma samband. Man måste använda båda sambanden tillsammans.

Aha, så att få ut x i en ekvation (i allmänt) så måste man använda sig av två olika samband och inte samma?

Ja, det måste vara olika samband.

(Inte om det är jättelätt t ex "Det finns 10 katter och 5 barn, hur många katter får varje barn", 5x=10 --> x=2)

Men oftast gäller det att tolka texten och hitta samband. I denna uppgift använde vi det de sa om andelen även om vi inte fick veta hur stor den var, bara att den var dubbelt så stor efter det planterats 10 päronträd.

Då fick vi 2 obekanta: a för andelen och x för päronträd.
Man måste ha lika många ekvationer (samband) som obekanta för att kunna lösa ekvationssystemet.

Okej, jag förstår. Tack!