Problemlösning - hur mycket ökade...

Hej !

Frågan:

Antalet invånare tredubblades i ett samhälle mellan åren 1910–2015. Antalet invånare
ökade exponentiellt med tiden, dvs. med lika många procent per år. Bestäm den
genomsnittliga årliga procentuella ökningen för antalet invånare i detta samhälle.

Jag har inte kommit så lång med denna uppgift då jag inte fattat hur man ska räkna ut den. Men jag tror att man ska börja med "formeln" $y = c \times x^{a}$

jag tror att y= 3x c = x a= 105

Men sen vet jag inte hur jag ska forsätta

Utmärkt början! En liten detalj, eftersom vi har ett x i vår formel, är det bättre att döpa c till C, eller någon annan bokstav, exempelvis z. Annars har vi ett x som betecknar den procentuella förändringen per år, och ett x som betecknar startvärdet, vilket blir förvirrande. :)

Så, $y=3c$ , $c=c$ och $a=105$ ger ekvationen $3c=c\cdot x^{105}$ . Kan vi förenkla den ekvationen på något sätt? :)

vi vill väll ha alla c på en sida, så vi delar båda delarna med c

3c/c = c

andra delen borde då vara x upphöjt till 105

har jag rätt än så länge?

Det stämmer! Så då är ekvationen $3=x^{105}$ . Vad kan vi göra nu? :)

förlåt för sent svar men, ska man ta roten ur x upphöjt till 105?

vi vill ju veta vad ett x är. ska man kanske dela båda sidorna med 3?

Ja, roten ur är ett bra steg! Vilken rot ska vi ta? Andra roten ur (kvadratroten)? Tredje? Vi vill gärna få ett ensamt x i ena ledet. :)

vad är skillnaden mellan andra roten ur och tredje roten ur. Men jag gissar på att man ska ta tredje roten ur eftersom att vi har en 3.

Andra roten / kvadratroten ur x frågar frågan "vilket tal multiplicerat med sig själv blir x?", alltså att om $\sqrt{x} = t$ , så gäller det att $t \cdot t = x$ .

Tredje roten ur frågar frågan "vilket tal multiplicerat med sig själv tre gånger blir x?", alltså att om $\sqrt[3]{x} = t$ , så gäller det att $t \cdot t \cdot t = x$ .

I uppgiften har vi fått $3 = x^{105}$ , vilket är samma sak som att $3 = \underset{105 gånger}{\underset{⏟}{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot . . . \cdot x \cdot x}}$ .

Om vi då vill hitta x, kan vi använda oss av att om $\sqrt[105]{x} = t$ gäller det att $\underset{105 gånger}{\underset{⏟}{t \cdot t \cdot t \cdot t \cdot . . . \cdot t \cdot t}} = x$ . Prova att applicera detta på ekvationen. Vad händer? :)

Jag fattar inte vad jag nu ska göra, är detta inte lite för komplicerat?

Jag fattar inte vad jag nu ska göra, är detta inte lite för komplicerat?

Nejdå! Om du vill ta reda på för vilket positivt värde på x det gäller att x²=a så räknar du ut $\sqrt{a}$ . Om du vill ta reda på för vilket positivt värde på x det gäller att x³=a så räknar du ut $\sqrt[3]{a}$ . Om du vill ta reda på för vilket positivt värde på x det gäller att x⁴=a så räknar du ut $\sqrt[4]{a}$ . Nu vill du ha reda på för vilket positivt värde på x det gäller att x¹⁰⁵=a så räknar du ut ...

$\sqrt[105]{a}$

är det rätt?

om det är rätt, vad ska vara istället för a?

Du verkar tänka rätt. Läs igenom uppgiften igen. Vilket värde har a?

A var ju 105.

Så svaret blir då 1.04532039, alltså en ökning på ungefär 4,5 procent per år

men det är fel svar, är det ett ytterligare steg man ska ta?

Nej ekvationen var ju $3=x^{105}$ , vilket betyder att $a=3$ .

Det betyder att $x=3^{\frac{1}{105}}$

Svara

Visa senaste svar