Problemlösning - Geometri

Antag att a och b är längder i cm.

Vad har volymer och ytor för enheter?

Area!!

Tänk på en kvadrat med sidan 10 cm. Vad blir ytan, tal och enhet?

Och tänk på en kub med sidan 10 cm. Vad blir volymen, tal och enhet?

Kvadratens area: 10x10=100cm^2

Kubens volym: 10x10x10=1000cm^3

Rätt!

I problemet med badringen, kan du se vilken formel som motsvarar ytan, och vilken som motsvarar volymen? Någon gissning?

Jag tror att 2TT^2ab^2 är begränsningsarean, då bör ju volymen vara 4TT^2ab

Antag att a och b mäts i cm. Då blir 2TT^2ab^2 en konstant (2TT^2) multiplicerat med cm * cm * cm, alltså cm^3

Och 4TT^2ab blir en konstant (4TT^2) multiplicerat med cm * cm, alltså cm^2.

Så om du tänker på det, vilken formel är volym och vilken är en yta?

V= 4TTab^2

A= 4TT^2ab

Rätt! (Fast antalet TT stämmer inte riktigt.)

Är du med på varför det blir så?

Nej, skulle du kunna förklara det lite mer enkelfattat?

En yta (area) har ju längd och bredd, det vill säga två sträckor som multipliceras ihop.  I uttrycket $4{\mathrm{\pi }}^2\mathrm{ab}$ multiplicerar man ihop två längder, a och b, samt en "konstant" ($4{\mathrm{\pi }}^2$).

En volym har också längd och bredd men även höjd, det vill säga tre sträckor som multipliceras ihop.  I uttrycket $2{\mathrm{\pi }}^2{\mathrm{ab}}^2$multiplicerar man ihop tre längder, a, b och b, samt en "konstant" ($2{\mathrm{\pi }}^2$).

"Kontstanterna" är desamma, oberoende av hur långa sträckorna a och b är. Så för att få en volym behöver man multiplicera ihop tre längder. Om längderna har enheten cm, så mäts volymen i $c{m}^3.$

Fråga mer om du tycker det jag skriver är oklart, så att du förstår skillnaden mellan area och volym.

Jag förstår nu! 2TT^2ab^2 blir en konstant (2TT^2) 

4TT^2ab blir en konstant (4TT^2) Okej så jag förstår nu att V=2TT^2 och Arean=4TT^2 men jag förstår inte varför du pratar om cm och att man ska multiplicera cm*cm*cm på tex ditt första exempel. Jag fattar att cmx3 blir cm^3 men varför i detta fall? Det står ju inga cm i uppgiften

Är inte riktigt säker på hur du menar.

"Konstanter" i de två fallen är $2{\mathrm{\pi }}^2$(ungefär =20) respektive $4{\mathrm{\pi }}^2$ (ungefär =40), alltså en del av formlerna. Den delen av formlerna förändras inte om a eller b ändras.

Om du inte är med på diskussionen om cm gör det inget. Det jag vill säga är att en area får man fram genom att multiplicera två sträckor med varandra. En volym får man fram genom att multiplicera tre sträckor med varandra.

En kropp/volym kan se olika ut, det kan vara en kub, en tegelsten, ett klot eller en badring. Det finns olika formler för att beräkna volymen för kropparna, men gemensamt är att de har tre dimensioner: längd, bredd och höjd. Men en del klarnar nog när du tittar på uppgifterna b) och c).

Okeej nu förstår jag vad du menar gällande volymen o arean de va bara jag som va lite trög men jag fattar verkligen inte vad en konstant är? och varför du gör uttrycket mindre?

Fint. Och bra att du frågar när något är oklart!

En konstant är ett värde som inte kan förändras. Exempel på en konstant är $\mathrm{\pi }$. Den har alltid samma värde 3.14...  Och $2{\mathrm{\pi }}^2$ förändras inte heller utan är alltid 19,739...

Motsatsen är variabel, det är ett värde som kan variera. I detta exemplet är det a och b som är variabler. I övning 3c) så räknar man med olika värden på a och b, för att se hur volymen ändras när a eller b ändras. Men man kan ju inte räkna med olika värden på $\mathrm{\pi }$.

Japp! nu sitter det. 

b) är förmodligen då Area eftersom att om man vill måla badringens utsida så vill man ju inte måla omkretsen, inte volymen utan arean/ytan.

Hur löser jag c)

Formeln för volymen är ju: V = $2{\mathrm{\pi }}^2{\mathrm{ab}}^2$.

Här det vara bra att räkna med ett exempel. Antag att a=1 och b=1. Vad får du för volym då?

I uppgift c1), fördubbla a, det vill säga sätt a=2 och b=1. Vad får du för volym då? Jämför med resultatet ovan. Vad får du för samband?

I uppgift 2b), så fördubblar du i stället b, det vill säga b=2 och a=1. Jämför med resultatet överst. Vad får du för samband?

a blir ju alltså dubbelt så stor, b blir då fyra gånger så stor? eller

Precis!

Räcker det med att jag bara skriver det då? Behöver jag skriva något mer eller mer utförligt?

Det är alltid viktigt att läsa texten i frågan så man vet som som efterfrågas. I det här fallet står det

Vad händer med volymen om 

1. a fördubblas men b är samma?

2. b fördubblas men a är samma? 

Du kom ju fram till att volymen blir dubbelt så stor om a fördubblas men b är samma

Och att volymen blir fyra gånger så stor om b fördubblas men är samma.

Jo precis, då räcker det bara med att jag skriver svaren. Tack för hjälpen Sten!