Problemlösning - felmarginal fartkamera

Skulle behöva lite hjälp på traven med följande uppgift, som håller sig på en begriplig nivå för någon som endast läst matte 5.

"En polis mäter hastigheten på förbipasserande bilar. Han siktar på bilen med ett laserinstrument och kan sedan läsa av med vinkeln vilken hastighet avståndet mellan instrumentet och bilen förändras."

https://gyazo.com/5555b65da514f342ea484072575e86e6 (se bild, kallar dock vinkeln för 𝛂)

Sambandet som råder är att avståndets (mellan instrumentet och bilen) förändringshastighet d'(t), där d(t) är avståndet mellan instrumentet och bilen, är följande:

d'(t) = cos(𝛂) * v

där v är bilens hastighet.

Frågan: Polisens instrument kan mäta hastigheter med stor precision, men vinkeln 𝛂 i figuren kan inte bestämmas bättre än med ett fel på +2° och -2° (alltså plusminus två grader). Vilka vinklar bör polismannen begränsa sin mätning till om han vill vara säker på att han inte bestämmer hastigheten med ett större fel än 5%?

Facit saknas.

Vet inte riktigt hur man ska tänka. Tänker att man bör kolla på ett fall med vinkeln 𝛂 och 𝛂+2 samt göra samma sak för 𝛂 och 𝛂-2. Det ska också råda hastigheterna v och 0,95v eller v och 1,05v. Men eftersom avståndets hastighetsförändring också kommer in i bilden vet jag inte alls hur jag ska börja.

Vore oerhört tacksam för hjälp eller tips!

Den här uppgiften diskuterades här på Pluggakuten häromsistens.

Ja, men det gavs ingen förklaring på lösningen. Har redan läst inlägget, men folk tycktes diskutera fartkameran mer än själva frågan.

Till att börja med kan man konstatera att om man vill kunna derivera elle rintegrera funktioner av vinklar, behöver de vara angivna i radianer, om man inte skall behöva tänka på inre derivator.

Om jag skulle göra den här uppgiften, skulle jag börja med att kolla vad som händer vid några olika värden på 𝛂 - vilken hastighet blir det om man sättter in den rätta vinkeln, den som är lite mindre och den som är lite större? Undersök detta för flera olika värden på 𝛂 , så kan du få ett hum om vad det är du försöker visa.

$O m v i s ä t t e r h a s t i g h e t e n d' (t) s o m k a m e r a n u p p f a t t a r t i l l v_{c} v_{c} = \cos (α) \cdot v o c h s e d a n d e r i v e r a r f å r v i : d v_{c} = \cos (α) \cdot d v + v \cdot (- \sin (α)) d α d i v i d e r a s e d a n m e d v_{c} d å f å s \frac{d v_{c}}{v_{c}} = \frac{d v}{v} - \frac{d α}{c o t (α)} d e t t a g e r \frac{d v}{v} = \frac{d v_{c}}{v_{c}} + \frac{d α}{c o t (α)} E n l i g t u p p g i f t s å k a n p o l i s e n s i n s t r u m e n t m ä t a h a s t i g h e t m e d s t o r p r e c i s i o n s å v i s ä t t e r \frac{d v_{c}}{v_{c}} \approx 0 F ö r a t t s l i p p a e v e n t u e l l a p r o b l e m m e d \pm s å t a r v i a b s o l u t b e l o p p k v a r b l i r d å |\frac{d_{v}}{v}| = |\tan (α) \cdot d α| \leq 0.05 t y f e l e t s k u l l e v a r a u n d e r 5 % D å f å s m e d d α = 2 ° o c h o m r ä k n a t i r a d i a n e r \tan (α) \leq \frac{0.05}{\frac{2 \cdot 2 \cdot π}{360}} o c h v i f å r s l u t l i g e n m e d a r c \tan (α) α \leq 0.96 r a d i a n e r v i l k e t m o t s v a r a r \approx 55 ° K o n t r o l l a v 5 % g r ä n s : \frac{\cos (55 °)}{\cos (55 ° - 2 °)} = 1.049 M e n s o m s a g t 55 ° l å t e r v ä l d i g t m y c k e t .$

Jag kom väl fram till 18 grader?

https://www.pluggakuten.se/trad/fartkamera/

$O m v i a n v ä n d e r f o r m e \ln v_{c} = v \cdot \cos (α) o c h p o l i s e n m ä t e r u p p h a s t i g h e t e n v_{c} . V i a n t a r a t t d e n r i k t i g a v i n k e \ln ä r 18 ° . D å s k u l l e h a s t i g h e t e n b l i v_{1} = \frac{v_{c}}{\cos (18 °)} m e n p o l i s e n f å r f ö r s i g a t t d e n ä r 20 ° (m a x f e l p å 2 °) d å f å s v_{2} = \frac{v_{c}}{\cos (20 °)} \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\cos (20 °)}{\cos (18 °)} \approx 0.988 d v s v ä l i n n a n f ö r f e l m a r g i n a l e n s o m v a r 5 %$

$L i t e e d i t e r i n g o c h f ö r t y d l i g a n d e p å m i n a e k v a t i o n e r s o m g a v 55 ° . A v s l u t n i n g e n b l i r b ä t t r e s å h ä r : \tan (α) \leq \frac{0.05}{\frac{2 \cdot 2 \cdot π}{360}} o c h v i f å r s l u t l i g e n m e d a r c \tan α \leq 0.96 r a d i a n e r v i l k e t m o t s v a r a r \approx 55 ° d v s d e n a v p o l i s e n s t ö r s t a a n v ä n d a v i n k e \ln i k a l k y l e n f å r v a r a 55 ° . v i l k e t i n n e b ä r a t t b i l e n s m a x i m a l a a v v i k e l s e f å r v a r a m a x 53 ° . (55 ° - 2 °) . K o n t r o l l a v 5 % g r ä n s : \frac{\cos (55 ° - 2 °)}{\cos (55 °)} \approx 1.049 M e n s o m s a g t 53 ° l å t e r v ä l d i g t m y c k e t .$

Som redan beskrivet...men jag kan väl bli tydligare.

Jag ser två, med instrumentet mätbara, hastighetsvektorer hos fordonet med beloppen:
1: v
2: 0.95v
Åsså en vinkel $α$ mellan vektorerna som borde kunna approximeras till:

arccos(0.95)=18grader

Åsså kan polisen stå både på vänster och höger sida om vägen. Blir det $\pm$ 18grader då?

Åsså mäter "min" polis i fordonens huvudsakliga färdriktning.

Jag börjar förstå nu hur du räknar. Du struntar alltså i +2° och -2° och antar att felet i vinkeln 𝛂 inte kan bestämmas bättre än med ett fel på +18° och -18°. I min beräkning tog jag hänsyn till 2°.

Nä ... så ser jag inte på det ... om dä inte ä nått mä svenskan ja inte fattar ...

Jag beräknar den maximala vinkel som ger ett fel i uppmätt hastighet på mindre än 5%.

Eftersom svaret blir $\pm$ 18 grader, så blir uppgiften om $\pm$ 2 grader i det närmaste betydelselös.

Som sagt det står ju i uppgiften att vinkeln 𝛂 i figuren kan inte bestämmas bättre än med ett fel på +2° och -2°. Det innebär att 𝛂=18° kan som sämst bestämmas till att bli 20°. Vi får då som jag skrev i ett tidigare inlägg att

$\frac{R ä t t h a s t i g h e t}{U p p m ä t t h a s t i g h e t} = \frac{\cos (18 °)}{\cos (20 °)} \approx 0.988 d v s v ä l i n n a n f ö r f e l m a r g i n a l e n s o m v a r 5 %$

Svara

Visa senaste svar