38 svar
229 visningar
x.21uzawuxei_ behöver inte mer hjälp
x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 31 mar 2022 18:39

Problemlösning exponentialfunktion

Hej! 

Jag vet inte hur jag ska lösa klart denna uppgift. Vet att man ska använda formeln för en exponentialfunktion dvs. y = C x a2 och att 1,05 är förändringsfaktorn alltså a men hur vet jag C, tror man ska göra något med ökningen men vet inte vad? 

Verkligen all hjälp skulle uppskattas! 

Tack! 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 31 mar 2022 18:53

Sambander kan skrivas y = C•1,05x, där y är antalet invånare, x är antalet år efter någon viss tidpunkt och C är en konstant (i praktiken är C lika med "startvärdet", dvs antalet invånare då x = 0).

Med hjälp av informationen i uppgiften kan du nu sätta upp två samband:

50 000 = C•1,05x, dvs att det är 50 000 invånare år x 

80 000 = C•1,05x+n, dvs att det är 80 000 invånare år x+n, dvs n år senare.

De två sambanden utgör nu ett ekvationssystem och uppgiften gäller att bestämma värdet på n.

Kommer du vidare då?

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 31 mar 2022 18:57 Redigerad: 31 mar 2022 18:57

Tror man ska använda substitutionsmetoden eller additionsmetoden, men har glömt bort hur man använder de igen? Skulle vi kunna göra substitutionsmetoden och då tänkte jag multiplicera det första sambandet med -1 för att få allt negativt och sedan bryta ut, är det en bra start eller?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 31 mar 2022 19:02

Bra idé, men substitutionsmetoden och additionsmetoden fungerar tyvärr inte så bra här, de är mer lämpade för linjära ekvationssystem.

Men här går det istället bra att dividera den ena ekvationen med den andra, enligt den här mallen

Om vi har ekvationssystemet

A = B

C = D

Så blir det efter division

A/C = B/D

Gör ett försök och visa hur långt du kommer.

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 31 mar 2022 19:06

50 000/80 000 = C×1,05x / C×1,05 x+n 

0,625 / ? 

Hur fortsätter jag?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 31 mar 2022 19:08 Redigerad: 31 mar 2022 19:09

Bra!

I högerledet står det nu C·1,05xC·1,05x+n\frac{C\cdot1,05^x}{C\cdot1,05^{x+n}}

Då kan du förkorta bort konstanten CC och sedan använda potenslagen abac=ab-c\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c} på det som är kvar.

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 31 mar 2022 19:11

Så C tas bort helt? Då får vi 1,05 x - x+n, men vet inte hur jag ska komma vidare?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 31 mar 2022 22:27

Ja och du kommer då att få kvar 1,05x-(x+n) i högerledet. Förenkla exponenten och visa hur ekvationen då ser ut.

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 31 mar 2022 22:31

Då blir det väl 1,05x-n

Stämmer det? För x-x blir bara 0 så då är det ganska irrelevant att skriva det sedan blir x -+ n negativ och därmed fick jag fram det svaret.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 31 mar 2022 22:41 Redigerad: 31 mar 2022 22:42

Nej det stämmer inte riktigt.

Vi förenklar det hela och tittar nu enbart på exponenten.

Kan du förenkla uttrycket x-(x+n)?

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 31 mar 2022 22:47

Går det inte att göra x2 - nx?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 31 mar 2022 23:03

Nej det finns inget multiplikationstecken.

Det står x minus (x plus n)

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 31 mar 2022 23:10

x2 - n + x

Så?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 31 mar 2022 23:17

Nej, varför x2?

Du har ett x, och från det ska du subtrahera både ett x och ett n.

Resultatet blir alltså x-x-n.

Kan du förenkla det uttrycket nu?

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 1 apr 2022 17:44 Redigerad: 1 apr 2022 17:45

0-n blir det väl? Eller rättare sagt bara -n?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 1 apr 2022 17:47

Ja det stämmer.

Ekvationen blir alltså 0,625 = 1,05-n.

Vet du hur du ska gå vidare och lösa ut n ur ekvationen?

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 1 apr 2022 17:50

Är lite osäker, kan du förklara?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 1 apr 2022 18:57

Har du hunnit fram till logaritmer i din mattekurs ännu?

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 1 apr 2022 18:59

Ja, men det sitter inte så bra i huvudet kan man säga. 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 1 apr 2022 19:04 Redigerad: 1 apr 2022 19:04

Du kan logaritmera bägge sidor av ekvationen och sedan använda logaritmlagen lg(ab) = b•lg(a) på högersidan.

Eller, om du inte vill använda logaritmer, så kan du helt enkelt pröva dig fram med olika heltalsvärden på n.

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 1 apr 2022 19:05

Jag tänker använda mig av logaritmer. 

0,625 = 1,05-n 

lg 0,625 = lg 1,05-n

lg 0,625 = -n x lg 1,05

Vad ska jag göra nu?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 apr 2022 10:20

Dividera båda sidor med lg(1,05).

Använd räknaren för att ta fram ett närmevärde till vänsterledet.

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 3 apr 2022 11:48

Får fram svaret till ca 1,46 vilket man kan avrunda till 1,5. Tog lg 0,625 dividerat med lg 1,05 och fick fram detta till svar. 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 apr 2022 12:01

Nej det stämmer inte. 

Visa hur du räknar så kan vi hjälpa dig att hitta felet. 

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 3 apr 2022 12:05

lg 0,625/ lg 1,05 = 1,46 

Vad ska jag göra istället??

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 apr 2022 12:10

Uträkningen stämmer inte.

Visa exakt hur du gör för att beräkna kvoten.

Ta med eventuella delresultat eller, om du använder räknaren direkt, visa exakt vad du trycker in där.

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 3 apr 2022 12:13

Tryckte på log och satte in 0,625, tryckte på divideraknappen och därefter tryckte jag på log igen och satte 1,05, fick fram svaret 1,469763427. Vad är det som är så otydligt??

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 apr 2022 12:18

Du har beräknat lg(0,625lg(1,05))\lg(\frac{0,625}{\lg(1,05)}), inte lg(0,625)lg(1,05)\frac{\lg(0,625)}{\lg(1,05)}

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 3 apr 2022 12:21

Fast hur räknar jag på detta vis, vilka knappar ska jag trycka på min grafräknare?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 apr 2022 12:32 Redigerad: 3 apr 2022 12:32

Använd parenteser:

( log ( 0,625 ) ) ÷ ( log ( 1,05 ) )

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 3 apr 2022 12:34

Om jag gör på det sättet som du visar får jag fram svaret till -9,633163512  -10

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 apr 2022 12:38

Ja det stämmer.

Behåll närmevärdet -9,6 ett tag och fortsätt att lösa ekvationen.

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 3 apr 2022 12:45

Står -n för -9,6 så jag ska bara stoppa in -9,6 i ekvationen som vi hade från början?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 apr 2022 12:51

Det stämmer att-n \approx -9,6, vilket innebär att n \approx 9,6.

Om du nu går tillbaka och tittar på vad n står för så kan du nog besvara frågan 

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 3 apr 2022 12:56 Redigerad: 3 apr 2022 12:56

0,625 = 1,05-9,6

0,625 = 0,6260121019

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 apr 2022 12:57 Redigerad: 3 apr 2022 12:57

Bra. Vad står n för, dvs vilken storhet kallar vi n?

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 3 apr 2022 13:02

n står för hur många år det tar för invånarantalet att öka från 50 000 till 80 000

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 3 apr 2022 15:10

Ja det stämmer.

Det tar alltså drygt 9 och ett halvt år för invånarantalet att öka från 50 000 till 160 000.

Ert bra svar kan då vara "Knappt 10 år".

x.21uzawuxei_ 1171
Postad: 3 apr 2022 15:12

Okej, tack för hjälpen!

Svara
Close