Problemlösning exponentialfunktion

Sambander kan skrivas y = C•1,05^x, där y är antalet invånare, x är antalet år efter någon viss tidpunkt och C är en konstant (i praktiken är C lika med "startvärdet", dvs antalet invånare då x = 0).

Med hjälp av informationen i uppgiften kan du nu sätta upp två samband:

50 000 = C•1,05^x, dvs att det är 50 000 invånare år x 

80 000 = C•1,05^x+n, dvs att det är 80 000 invånare år x+n, dvs n år senare.

De två sambanden utgör nu ett ekvationssystem och uppgiften gäller att bestämma värdet på n.

Kommer du vidare då?

Tror man ska använda substitutionsmetoden eller additionsmetoden, men har glömt bort hur man använder de igen? Skulle vi kunna göra substitutionsmetoden och då tänkte jag multiplicera det första sambandet med -1 för att få allt negativt och sedan bryta ut, är det en bra start eller?

Bra idé, men substitutionsmetoden och additionsmetoden fungerar tyvärr inte så bra här, de är mer lämpade för linjära ekvationssystem.

Men här går det istället bra att dividera den ena ekvationen med den andra, enligt den här mallen

Om vi har ekvationssystemet

A = B

C = D

Så blir det efter division

A/C = B/D

Gör ett försök och visa hur långt du kommer.

50 000/80 000 = C$\times$1,05^x / C$\times$1,05 ^x+n 

0,625 / ? 

Hur fortsätter jag?

Bra!

I högerledet står det nu $\frac{C\cdot1,05^x}{C\cdot1,05^{x+n}}$

Då kan du förkorta bort konstanten $C$ och sedan använda potenslagen $\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$ på det som är kvar.

Så C tas bort helt? Då får vi 1,05 x - x+n, men vet inte hur jag ska komma vidare?

Ja och du kommer då att få kvar 1,05^x-(x+n) i högerledet. Förenkla exponenten och visa hur ekvationen då ser ut.

Då blir det väl $1,{05}^{x-n}$

Stämmer det? För x-x blir bara 0 så då är det ganska irrelevant att skriva det sedan blir x -+ n negativ och därmed fick jag fram det svaret.

Nej det stämmer inte riktigt.

Vi förenklar det hela och tittar nu enbart på exponenten.

Kan du förenkla uttrycket x-(x+n)?

Går det inte att göra x² - nx?

Nej det finns inget multiplikationstecken.

Det står x minus (x plus n)

x² - n + x

Så?

Nej, varför x²?

Du har ett x, och från det ska du subtrahera både ett x och ett n.

Resultatet blir alltså x-x-n.

Kan du förenkla det uttrycket nu?

0-n blir det väl? Eller rättare sagt bara -n?

Ja det stämmer.

Ekvationen blir alltså 0,625 = 1,05^-n.

Vet du hur du ska gå vidare och lösa ut n ur ekvationen?

Är lite osäker, kan du förklara?

Har du hunnit fram till logaritmer i din mattekurs ännu?

Ja, men det sitter inte så bra i huvudet kan man säga. 

Du kan logaritmera bägge sidor av ekvationen och sedan använda logaritmlagen lg(a^b) = b•lg(a) på högersidan.

Eller, om du inte vill använda logaritmer, så kan du helt enkelt pröva dig fram med olika heltalsvärden på n.

Jag tänker använda mig av logaritmer. 

0,625 = 1,05^-n 

lg 0,625 = lg 1,05^-n

lg 0,625 = -n x lg 1,05

Vad ska jag göra nu?

Dividera båda sidor med lg(1,05).

Använd räknaren för att ta fram ett närmevärde till vänsterledet.

Får fram svaret till ca 1,46 vilket man kan avrunda till 1,5. Tog lg 0,625 dividerat med lg 1,05 och fick fram detta till svar. 

Nej det stämmer inte. 

Visa hur du räknar så kan vi hjälpa dig att hitta felet. 

lg 0,625/ lg 1,05 = 1,46 

Vad ska jag göra istället??

Uträkningen stämmer inte.

Visa exakt hur du gör för att beräkna kvoten.

Ta med eventuella delresultat eller, om du använder räknaren direkt, visa exakt vad du trycker in där.

Tryckte på log och satte in 0,625, tryckte på divideraknappen och därefter tryckte jag på log igen och satte 1,05, fick fram svaret 1,469763427. Vad är det som är så otydligt??

Du har beräknat $\lg(\frac{0,625}{\lg(1,05)})$, inte $\frac{\lg(0,625)}{\lg(1,05)}$

Fast hur räknar jag på detta vis, vilka knappar ska jag trycka på min grafräknare?

Använd parenteser:

( log ( 0,625 ) ) ÷ ( log ( 1,05 ) )

Om jag gör på det sättet som du visar får jag fram svaret till $-9,633163512 \approx -10$

Ja det stämmer.

Behåll närmevärdet -9,6 ett tag och fortsätt att lösa ekvationen.

Står -n för -9,6 så jag ska bara stoppa in -9,6 i ekvationen som vi hade från början?

Det stämmer att-n $\approx$ -9,6, vilket innebär att n $\approx$ 9,6.

Om du nu går tillbaka och tittar på vad n står för så kan du nog besvara frågan 

0,625 = 1,05^-9,6

0,625 = 0,6260121019

Bra. Vad står n för, dvs vilken storhet kallar vi n?

n står för hur många år det tar för invånarantalet att öka från 50 000 till 80 000

Ja det stämmer.

Det tar alltså drygt 9 och ett halvt år för invånarantalet att öka från 50 000 till 160 000.

Ert bra svar kan då vara "Knappt 10 år".

Okej, tack för hjälpen!