Problemlösning derivata: cylinder volym (A-nivå)

En cylinder som har höjden h och radien r, vad har den för volym?

Vad har den burken för mantelarea?

Dahlia skrev :

Har fastnat på följande uppgift:

"En plåtburk utan lock har formen av en rak, cirkulär cylinder.

 Bestäm ett samband mellan höjden h och radien r så att materialåtgången vid en given volym V blir så liten som möjligt."

 

Förstår att man ska derivera uttrycket man får fram genom att skriva sambandet, men hur ska jag skriva sambandet? Formeln för en cylinders volym ska väl användas också?

Ja. Volymen är given, den är V.

Eftersom en cylinders volym kan skrivas  $\pi r^2h$ så måste det gälla att $V=\pi r^2h$.

Det ger dig ett samband mellan r och h.

Du ska nu skriva ett uttryck för burkens totala begränsningsyta. Det är detta uttryck du ska minimera.

Stokastisk skrev :

En cylinder som har höjden h och radien r, vad har den för volym?

Vad har den burken för mantelarea?

Ingen mer information ges i uppgiften. 

Yngve skrev :

Ja. Volymen är given, den är V.

Eftersom en cylinders volym kan skrivas  $\pi r^2h$ så måste det gälla att $V=\pi r^2h$.

Det ger dig ett samband mellan r och h.

Du ska nu skriva ett uttryck för burkens totala begränsningsyta. Det är detta uttryck du ska minimera.

Begränsningsyta? 

Dahlia skrev :

Stokastisk skrev :

En cylinder som har höjden h och radien r, vad har den för volym?

Vad har den burken för mantelarea?

Ingen mer information ges i uppgiften. 

Ja, ursäkta om jag var otydlig. Det var tänkt som en ledning. Det gäller alltså att volymen på en cylinder med radien r och höjden h är $\pi r^2 h$, eftersom vi vet att volymen på den burk du har är V så får man sambandet

$\pi r^2 h = V$

Sedan ska du teckna ett uttryck för matelarean på burken. Det är alltså cylinderns yta + botten ytan. Det är detta du ska minimera.

Dahlia skrev :

Yngve skrev :

Ja. Volymen är given, den är V.

Eftersom en cylinders volym kan skrivas  $\pi r^2h$ så måste det gälla att $V=\pi r^2h$.

Det ger dig ett samband mellan r och h.

Du ska nu skriva ett uttryck för burkens totala begränsningsyta. Det är detta uttryck du ska minimera.

 

Begränsningsyta? 

Jag menar samma som Stokastisk.

Alltså en cirkulär botten och en rörformad sida.

Oki, så uttrycket för volymen är $V=\pi r^{2}h$ och uttrycket för mantelarean + bottenytan är $A=2\pi rh+\pi r^2$ . Det jag sedan gör är att skriva ihop uttrycken såhär: $V=A-2\pi r{h}^2$ För att få ett uttryck för volymen, men jag vet inte om detta är rätt. Är jag helt ute och cyklar? Om inte: hur går jag vidare?

Dahlia skrev :

Oki, så uttrycket för volymen är $V=\pi r^{2}h$ och uttrycket för mantelarean + bottenytan är $A=2\pi rh+\pi r^2$ . Det jag sedan gör är att skriva ihop uttrycken såhär: $V=A-2\pi r{h}^2$ För att få ett uttryck för volymen, men jag vet inte om detta är rätt. Är jag helt ute och cyklar? Om inte: hur går jag vidare?

Nej du ska minimera det uttrycket för mantelarea+bottenyta som du har tgit fram. Använd då sambandet mellan radie r och höjd h för att skriva om uttrycket A så att det endast beror av r (eller h).

Du får då att arean kan skrivas A(r). (Eller A(h)).

Minimera sedan detta uttryck.

Vad menas med att minimera ett uttryck?

Dahlia skrev :

Vad menas med att minimera ett uttryck?

Du ska hitta det värde på r som gör att arean A(r) blir så liten som möjligt.

Vilka metoder känner du till för att göra sådant?

Eftersom du postade frågan i Matte 3/Derivata så antog jag att du kände till hur man kan använda derivata för att hitta minpunkter/maxpunkter.

Yngve skrev :

Du ska hitta det värde på r som gör att arean A(r) blir så liten som möjligt.

Vilka metoder känner du till för att göra sådant?

Eftersom du postade frågan i Matte 3/Derivata så antog jag att du kände till hur man kan använda derivata för att hitta minpunkter/maxpunkter.

Jodå, jag vet hur man deriverar för att hitta min/maxpunkter, men har lite svårt att komma fram till formeln jag ska derivera. Har kommit fram till $A\left(r\right)=2V+\pi r^2$ (som deriverad blir $A\text{'}\left(r\right)=2+2\pi r$ ). Är detta rätt? 

Nej. Börja med att följa de råd du har fått - skriv t ex höjden som en funktion av radien* - det kan du, eftersom du vet att$V = \pi r^2 h$. Använd sedan detta värde på h(r) för att skriva ett uttryck för den totala arean A - d v s mantelarean plus bottenarean. Det är detta uttryck du skall derivera.

* Du skulle lika gärna kunna skriva radien r som en funktion av h, men det blir krångligare uttryck om du gör så.

Nej det gäller att

$A\left(r\right)=2\mathrm{\pi rh}+{\mathrm{\pi r}}^2=2\mathrm{\pi r}·\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{\pi r}}^2}+{\mathrm{\pi r}}^2=\frac{2\mathrm{V}}{\mathrm{r}}+{\mathrm{\pi r}}^2$

Så därför är

$A\text{'}\left(r\right)=-\frac{2V}{r^2}+2\mathrm{\pi r}$

Nu kan du ta och lösa ekvationen $A'(r) = 0$.

Jahaaa, jag skulle ersätta h i formeln, försökte skriva om båda formlerna i varandra. Nu tror jag jag klarar mig. Tack så mycket!

Dahlia skrev :

Jahaaa, jag skulle ersätta h i formeln, försökte skriva om båda formlerna i varandra. Nu tror jag jag klarar mig. Tack så mycket!

Ja det var det jag försökte säga i denna kommentar.