Problemlösning boll

A Om du har läst derivata så tittar du på h’(t) = 0 som ger

2–0,8x = 0

x = 2/0,8 

   = 2,5

h(2,5) = 1,3+5–2,5 = 3,8 meter över marken.

B Om du inte börjat med derivata så gör du om uttrycket till ett kvadratuttryck:

1,3 –0,4(–2x/0,4 + x²) = 1,3 – 0,4(x²–5x) = 1,3 – 0,4(x² –2*2,5x) =

= (lägg till och dra bort 2,5² i parentesen) = 1,3 – 0,4(x²–2*2,5x + 6,25 – 6,25) =

= (de tre första termerna i parentesen är (x–2,5)² =

= 1,3 – 0,4[(x–2,5)² –6,25) = 1,3 – 0,4(x–2,5)² +0,4*6,25 =

= 1,3 + 2,5 – 0,4(x–2,5)² =

= 3,8 – 0,4(x–2,5)²

(puh!)

Titta nu på det sista uttrycket, det är 3,8 minus ”något”. Om det ska vara så stort som möjligt, så ska ”något” vara så litet som möjligt. Men ”något” är en kvadrat, så den kan inte vara mindre än noll. Om x = 2,5 så är den noll och den termen försvinner. Kvar är 3,8 (m) som är högsta höjden. 

vad är kvadratuttryck? är det E nivå

jag fattar inteee

Egentligen är det en krånglig uppgift när man ska svara på nätet. Jag skulle behöva rita och peka.

Men frågan är om du börjat med derivata (som ingår i Matte 3). Då kan du ta lösning A och hoppa över kvadratuttryck.  

Men kvadratuttryck är uttryck av typen (a–b)², dvs (a–b) i kvadrat. De är användbara när man vill hitta när något är så litet som möjligt. Vi vet att x*x inte är mindre än noll för om x är större än noll så är x² positivt och om x är mindre än noll så är x² likafullt positivt (minus gånger minus är plus). Så x² är noll när x = 0, och x² kan inte bli mindre.

Titta nu på (a–b)² Det är 0 när (a–b) = 0 och det blir aldrig mindre än noll, vilka värden vi än väljer på a och b.

Titta sedan på (x–2,5)² Det är noll när x = 2,5, och vilket x-xärde du än väljer så blir det aldrig mindre än noll.

 (x–2,5)² är ett kvadratuttryck, varje uttryck i kostymen ( … )² kan kallas ett kvadratuttryck. 

( … )² är aldrig mindre än noll vad vi än stoppar in i parentesen.

Nu backar vi till min lösning, sista raden 3,8 – 0,4(x–2,5)². Vi vill ha det så Stort som möjligt.

Vi börjar med 3,8 det kan vi inte ändra. Från 3,8 ska vi dra ”något”. Om vi vill ha så mycket kvar som möjligt, så ska vi dra bort så litet som möjligt. Det minsta vi kan dra bort – den minsta ”kostnaden” är när 0,4 (x–2,5)² är så litet som möjligt. Om x = 2,5 så är kostnaden så liten som möjligt, mindre kan den inte bli, för då är den 0.

3,8 – 0 = 3,8.

Sedan har vi allt manipulerandet jag gjorde för att göra om uttrycket 1,3 + 2x – 0,4x² till

3,8 – 0,4(x–2,5)². Det har inte så mycket med förståelse att göra, det är mer ett snickararbete. Jag gör litet annorlunda nu, kanske lättare att följa:

Först bryter jag ut –0,4 och får –0,4(–1,3/0,4 – (2/0,4)x + x²) =

–0,4(x² – 5x – 3,25)

Om du kollar kvadratkomplettering vid lösning av andragradsekvationer ser du att

x²–5x+6,25 = (x–2,5)²

så om det hade stått +6,25 i stället för –3,25 så skulle vi haft ett kvadratuttryck. Det fattas 9,5. Om jag ersätter med kvadratuttrycket måste jag kompensera genom att ”betala” 9,5.

–0,4[x²–5x–3,25] = –0,4[(x–2,5)² –9,5] =

= –0,4*(–9,5) –0,4(x–2,5)² eller

3,8 –0,4(x–2,5)² som är högst 3,8.

Om du tycker detta var svårt att hänga med på är du ursäktad. Det är många rent tekniska steg, och dessutom en idé som är svår nog att förmedla facetoface, för att inte tala om här. Jag tror inte jag kan bättre. 

tack

Utan derivata.

h(x) = 1,3 + 2x -0,4x²

1,3 kan tolkas som bollens höjd när den lämnar Izabellas hand, se figur.
Om vi löser ekvationen 1,3 + 2x - 0,4x² = 1,3
får vi veta på vilket horisontellt avstånd som bollen är tillbaka på samma höjd (hos Lionel)

2x - 0,4x² = 0
x(2 - 0,4x) = 0
x₁ = 0
x₂ = 5

Den högsta höjden nås mitt emellan dessa punkter, dvs vid x = 2,5 (symmetrilinjen).
Sätt in det i h(x) får du h(2,5) = 3,8   (#2 A)

Tillägg: 23 okt 2023 19:01

Vi kan också skriva h(x) = 1,3 + x(2 - 0,4x) och se att h(0) = h(5),
så maximipunkten måste ha x = 2,5.
h(2,5) = 3,8.

Okej tack