Problemlösning - att upptäcka ett samband

OmarTaleb skrev:

Hej alla pluggakutare!

Jag behöver hjälp med följande fråga:

"En kvadrat i första kvadranten delas i två områden A och B av grafen till potensfunktionen $y=x^p$, där
p > 0

a) Beräkna förhållandet mellan areorna av områdena A och B för några olika värden på p, t.ex. 

$p=\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2 och 3$

b) formulera och bevisa en sats om hur areaförhållandet beror av p

c) Gäller satsen om kvadraten utvidgas till en rektangel med bredden a och höjde $a^p$?"

 

Det enda jag kunde göra är att rita de olika funktionerna i Desmos/grafritaren, längre än så kom jag inte. Jag satt och funderat på den här uppgiften innan jullovet och idag valde jag att ge upp. Så..... fråga inte hur jag har tänkte eller vad jag vet för jag vet ingenting.

Det här är absolut en början! Jag antar att du fått till något i stil med detta: 

I a) vill de att du provar att räkna ut förhållandena för några olika värden. Hur är det om $p=1$? Vad händer om vi sätter $p=0,5$? :)

Tillägg: 6 jan 2023 20:42

EDIT: se bilden i trådstarten istället. 

Det borde stått i uppgiften att kvadraten har ett hörn i origo.

Exakt. Resultaten som ska bevisas beror på var i kvadranten kvadraten ligger. Ex Betrakta en kvadrat med sidan 1 med en sida utefter y-axeln och den andra utefter y=1.  Funktionen har i intervallet (0,1) alla sina funktionsvärden i (0,1) oberoende av p. Då ligger kvadraten helt i ena området A eller B oberoende av p. Annars kan det se ut som på bilden ovan och man kan få något förhållande. 

Mogens skrev:

Det borde stått i uppgiften att kvadraten har ett hörn i origo.

Jag bifogade en bild (skulle ah gjort det innan men glömde).

Tomten skrev:

Exakt. Resultaten som ska bevisas beror på var i kvadranten kvadraten ligger. Ex Betrakta en kvadrat med sidan 1 med en sida utefter y-axeln och den andra utefter y=1.  Funktionen har i intervallet (0,1) alla sina funktionsvärden i (0,1) oberoende av p. Då ligger kvadraten helt i ena området A eller B oberoende av p. Annars kan det se ut som på bilden ovan och man kan få något förhållande. 

Jag var lite för snabb och postade utan en bild, nu kan du se bilden.

Jag tror det är en lapsus av problemförfattaren. En kvadrat utan axelparallella sidor nånstans bortitok är inte så spännande att räkna på. Men hela kvadraten i quadrant 1 och ett hörn i origo blir många symmetrier att upptäcka.

Mogens skrev:

Jag tror det är en lapsus av problemförfattaren. En kvadrat utan axelparallella sidor nånstans bortitok är inte så spännande att räkna på. Men hela kvadraten i quadrant 1 och ett hörn i origo blir många symmetrier att upptäcka.

Jag glömde att bifoga bilden på frågan, nu kan du se den.

Mogens skrev:

Det borde stått i uppgiften att kvadraten har ett hörn i origo.

Jag glömde att bifoga en bild på uppgiften, nu är det gjort.

Ingen fara, bara vi vet vad vi har för information. :)

I a) vill de att du provar att räkna ut förhållandena för några olika värden. Hur är det om $p=1$? Vad händer om vi sätter $p=0,5$?

Smutstvätt skrev:

Ingen fara, bara vi vet vad vi har för information. :)

I a) vill de att du provar att räkna ut förhållandena för några olika värden. Hur är det om $p=1$? Vad händer om vi sätter $p=0,5$?

När p = 1 är funktionen linjär, men när p = 0,5 är funktionen exponentiell. 

Det är lite svårt att förklara hur funktionen ser ut, men linjen "lutar sig framåt"

Nej Omar, x^0,5 är en potensfunktion.

0,5^x däremot är en exponentialfunktion. Då är x i exponenten.

Mogens skrev:

Nej Omar, x^0,5 är en potensfunktion.

0,5^x däremot är en exponentialfunktion. Då är x i exponenten.

Tack Mognes, har alltid haft problem med dessa två termer.

Tack själv, jag skulle skrivit att vid exponentialfunktioner är variabeln i exponenten.

Bara att uppgiften är ganska krånglig. Inte jättelätt att sammanfatta, p kan vara större än eller mindre än 1 och samma för a. 

Mogens skrev:

Tack själv, jag skulle skrivit att vid exponentialfunktioner är variabeln i exponenten.

Bara att uppgiften är ganska krånglig. Inte jättelätt att sammanfatta, p kan vara större än eller mindre än 1 och samma för a. 

Hur menar du? ("p kan vara större än eller mindre än 1 och samma för a.")

Kan du förklara ytterligare? p kan vara vad som helst, menar du arean A? I så fall, hur har du kommit fram till det?

Jag har verkligen tröttnat på uppgiften, hur ska jag beräkna förhållandet i areorna i a)?

Jag menar att det blir olika uttryck om p > 1 mot om p < 1 liksom ifall a > 1 eller a < 1. 

Det gäller att sammanfatta dessa i ett någotsånär enkelt samband.

Eftersom kvadraten har ett hörn i (1,1), kommer den alltid att skära y, eftersom $y=1^p=1$ för alla värden på p.

Det gör att vi kan beräkna arean B genom att integrera $y=x^p$ med avseende på x, mellan $x=0$ och $x=1$. Vad är ${\int }_0^1{x}^{p}dx$? :)

Smutstvätt skrev:

Eftersom kvadraten har ett hörn i (1,1), kommer den alltid att skära y, eftersom $y=1^p=1$ för alla värden på p.

Det gör att vi kan beräkna arean B genom att integrera $y=x^p$ med avseende på x, mellan $x=0$ och $x=1$. Vad är ${\int }_0^1{x}^{p}dx$? :)

Har kvadraten ett hörn i (1, 1)?? Det hade jag missat. Då blir det ju mycket enklare. Jo, på bilden ser det så ut, men tillägget att kvadraten utvidgas till en rektangel rycker undan den förutsättningen.

Mogens skrev:

Har kvadraten ett hörn i (1, 1)?? Det hade jag missat.

Se uppdateringen kl 12.54 av ursprungsinlägget. Bilden visar det.

Just det, bredden a och höjden a^p, kurvan ska gå genom två av kvadratens hörn. 

Jättebra om uppgifter är korrekt återgivna från början, så man slipper förklara en massa som aldrig var med i originalet.

Mogens skrev:

Jättebra om uppgifter är korrekt återgivna från början, så man slipper förklara en massa som aldrig var med i originalet.

Missade du svar #5, #6, #8 och #9?

Yngve skrev:

Mogens skrev:

Jättebra om uppgifter är korrekt återgivna från början, så man slipper förklara en massa som aldrig var med i originalet.

Missade du svar #5, #6, #8 och #9?

Nej, såklart inte. Men att kvadraten i just den figuren har hörn i (1, 1) betyder inte att den måste ha det. Jag såg de figurerna som en bekräftelse på att kvadraten hade hörn i origo och axelparallella sidor. Dessutom hade jag redan grottat ner mig i funderingar kring kvadrater med annan sida än 1. Oavsett är det bra om frågeställarens första version är lusläst.

Om p = 1 så kan man välja storlek på kvadraten, men för alla andra p måste den ha sidan 1.

Laguna skrev:

Om p = 1 så kan man välja storlek på kvadraten, men för alla andra p måste den ha sidan 1.

?? Kvadraten kan väl ha vilken sida som helst, det blir ett annat problem. Det var det problemet jag löste, inte svårt, men snårigt att sammanfatta snyggt.

Fortfarande gäller att p = c och p = 1/c ger samma förhållande, fast inverterat.

Fallet p = 1 är trivialt.

x = x^p ger x = 1.

Laguna, vi tycks tala om olika saker. 

Smutstvätt skrev:

Eftersom kvadraten har ett hörn i (1,1), kommer den alltid att skära y, eftersom $y=1^p=1$ för alla värden på p.

Det gör att vi kan beräkna arean B genom att integrera $y=x^p$ med avseende på x, mellan $x=0$ och $x=1$. Vad är ${\int }_0^1{x}^{p}dx$? :)

Okej, nu förstår jag. Såååå...... för att svara på uppgift a), ska jag använda integralen ${\int }_0^1{x}^p$ och byta ut p mot vad som helst. Sedan, kan jag beräkna arean A enligt följande:

Kvadratens area - Area B = Area A

Hittills hänger jag med. 

OmarTaleb skrev:

Okej, nu förstår jag. Såååå...... för att svara på uppgift a), ska jag använda integralen ${\int }_0^1{x}^p$ och byta ut p mot vad som helst. Sedan, kan jag beräkna arean A enligt följande:

Kvadratens area - Area B = Area A

 

Hittills hänger jag med. Men hur blir det med förhållandet? Nu vet jag hur B och A beräknas.

Sätt A_A = Area av område A och A_B = Area av område B.

Eftersom kvadraten har arean 1 så får du A_A = 1-A_B.

I a-uppgiften ska du beräkna förhållandet mellan dessa areor för några valda värden på p, dvs du ska beräkna A_A/A_B för några valda värden på p.

Yngve skrev:

OmarTaleb skrev:

Okej, nu förstår jag. Såååå...... för att svara på uppgift a), ska jag använda integralen ${\int }_0^1{x}^p$ och byta ut p mot vad som helst. Sedan, kan jag beräkna arean A enligt följande:

Kvadratens area - Area B = Area A

 

Hittills hänger jag med. Men hur blir det med förhållandet? Nu vet jag hur B och A beräknas.

Sätt A_A = Area av område A och A_B = Area av område B.

Eftersom kvadraten har arean 1 så får du A_A = 1-A_B.

I a-uppgiften ska du beräkna förhållandet mellan dessa areor för några valda värden på p, dvs du ska beräkna A_A/A_B för några valda värden på p.

Hur ska jag formulera och bevisa en sats om hur areaförhållandet beror av p? 

Jag hittade några mönster, här får du dem: 

Edit 1:

Jag lyckades hitta en sats och bevisa det:

Edit 2:

Det ska finnas en integral efter "Mönster för B".

Det stämmer.

Bra att du kom på det!

Yngve skrev:

Det stämmer.

Bra att du kom på det!

Försökte med c) uppgiften i någon timme men misslyckats, ska testa imorgon. Om jag misslyckas imorgon så återkommer jag. 

Yngve skrev:

Det stämmer.

Bra att du kom på det!

Känner att jag är ett geni :)

Det stämmer väl?

Bra jobbat! Snyggt!

Yngve skrev:

Bra jobbat! Snyggt!

Tack för all hjälp ovh tålamod!

Uppskattas verkligen :)