Problemlösning

En rektangel är inskriven i en rätvinklig triangel. Kateterna har längderna 15 cm (y-axeln) och 20 cm (x-axeln).

Bestäm den största arean rektangeln kan få om två sidor ska ligga på triangelns kateter och ett hörn på hypotenusan.

Får fram att hypotenusan är 25??? $15^{2} + 20^{2} = c^{2} 625 = c^{2} c = 25$

Enligt tips i boken så skall jag placera triangeln i ett koordinatsystem med kateterna som axlar och uttryck hypotenusan med räta linjens ekvation.

Hur får jag fram ekvationen?? :(

Börja med att följa bokens tips. Har du lagt in triangeln i ett koordinatsystem?

Hej!

Vi börjar med att anta att h är höjden och b är basen på rektangeln.

Om h är 15cm betyder det att b måste vara 0cm, likadant om b är 20cm så måste h vara 0cm för att en kvadrat ska kunna bildas inom den rätvinkliga triangeln. Det gör att vi kan dra slutsatsen att 0<h<15 och 0<b<20.

Största möjliga arean får vi när b*h=A är som störst. Genom att använda räta linjens ekvation kan vi uttrycka b i h på följande sätt: b=kh+m => k= $\frac{∆ b}{∆ h} = \frac{- 20}{15} = \frac{- 4}{3}$ och m-värdet tar vi fram genom att t.ex sätta in punkten (20,0) vilket ger 20= $\frac{- 4}{3} \times 0 + m < = > m = 20$ . Så b kan alltså uttryckas i h genom b= $\frac{- 4}{3} \times h + 20$ .

Nu ersätter vi b med detta uttryck i b*h=A vilket ger oss A=h( $\frac{- 4}{3} \times h + 20$ )= $\frac{- 4}{3} h^{2} + 20 h$ .

Sedan tar vi fram dess h-värden. Det gör vi genom att sätta A=0 vilket ger 0= $\frac{- 4}{3} h^{2} + 20 h < = > 0 = h^{2} - 15 h < = > h (h - 15) = 0 < = > h_{1} = 15 h_{2} = 0 .$ . För att ta fram maximipunkten (det h där A blir som störst) som alltid ligger på symmetrilinjen tar vi $\frac{15 + 0}{2} = \frac{15}{2}$ cm , vilket alltså är det värde på h som har ger störst area.

Insättning av det i $b = \frac{- 4}{3} \times h + 20 = > b = \frac{- 4}{3} \times \frac{15}{2} + 20 = 10 c m$ .

Största möjliga area får vi alltså här genom att ta 10*7,5=75cm^2.

lamayo skrev:
Hej!
Vi börjar med att anta att h är höjden och b är basen på rektangeln.
Om h är 15cm betyder det att b måste vara 0cm, likadant om b är 20cm så måste h vara 0cm för att en kvadrat ska kunna bildas inom den rätvinkliga triangeln. Det gör att vi kan dra slutsatsen att 0<h<15 och 0<b<20.
Största möjliga arean får vi när b*h=A är som störst. Genom att använda räta linjens ekvation kan vi uttrycka b i h på följande sätt: b=kh+m => k= $\frac{∆ b}{∆ h} = \frac{- 20}{15} = \frac{- 4}{3}$ och m-värdet tar vi fram genom att t.ex sätta in punkten (20,0) vilket ger 20= $\frac{- 4}{3} \times 0 + m < = > m = 20$ . Så b kan alltså uttryckas i h genom b= $\frac{- 4}{3} \times h + 20$ .
Nu ersätter vi b med detta uttryck i b*h=A vilket ger oss A=h( $\frac{- 4}{3} \times h + 20$ )= $\frac{- 4}{3} h^{2} + 20 h$ .
Sedan tar vi fram dess h-värden. Det gör vi genom att sätta A=0 vilket ger 0= $\frac{- 4}{3} h^{2} + 20 h < = > 0 = h^{2} - 15 h < = > h (h - 15) = 0 < = > h_{1} = 15 h_{2} = 0 .$ . För att ta fram maximipunkten (det h där A blir som störst) som alltid ligger på symmetrilinjen tar vi $\frac{15 + 0}{2} = \frac{15}{2}$ cm , vilket alltså är det värde på h som har ger störst area.
Insättning av det i $b = \frac{- 4}{3} \times h + 20 = > b = \frac{- 4}{3} \times \frac{15}{2} + 20 = 10 c m$ .
Största möjliga area får vi alltså här genom att ta 10*7,5=75cm^2.

Tack lamayo nu förstår jag och löste den ;)! Superbra :)

Svara

Visa senaste svar