Problemlösning brinnande ljus (Matematik/Matte 2)

Hur lång tid tar det innan ljuset brunnit ner helt ? Dvs hur lång tid tar det att brinna 30 cm ?

Rita en graf över förloppet med "ljushöjd (cm)" på y-axeln och "brinntid (timmar)" på x-axeln

amisso skrev :
Det står helt stilla för mig i dessa uppgifter. Skulle någon snälla kunna hjälpa mig att förklara hur jag ska lösa dessa uppgifter a och b?

Fråga:
Ett 30cm långt ljus brinner med jämn låga så att de blir 2 cm kortare på 20 min.
a) Ange en funktion som beskriver ljusets höjd beroende på tiden
b) Bestäm definationsmängd och värdemängd för funktionen

Tack på förhand!

Kalla ljusets höjd h (centimeter) vid tidpunkten t (minuter) efter att ljuset har tänts för h(t).

Nu gäller det för dig att bestämma funktionsuttrycket h(t).

Sim vanligt är det lättate att tänka om man har en bild att utgå från.

Jag föreslår därför att du först ritar ett diagram som visar ljusets höjd vid olika tidpunkter.

Kalla den horisontella (vågräta) axeln för t. Den anger tiden i minuter efter att ljuset tänts. Gradera den så att 20 minuter mostvarar en ruta på ditt papper.
Kalla den vertikala (lodräta) axeln för h. Den anger ljusets höjd i centimeter. Den ska vara graderad från 0 till 30 eftersom ljuset är 30 cm högt från början.
Rita in en rät linje som beskriver hur ljusrts höjd minskar då tiden ökar.

Skriv här när du har gjort det och visa gärna din bild.

Yngve skrev :
amisso skrev :
Det står helt stilla för mig i dessa uppgifter. Skulle någon snälla kunna hjälpa mig att förklara hur jag ska lösa dessa uppgifter a och b?

Fråga:
Ett 30cm långt ljus brinner med jämn låga så att de blir 2 cm kortare på 20 min.
a) Ange en funktion som beskriver ljusets höjd beroende på tiden
b) Bestäm definationsmängd och värdemängd för funktionen

Tack på förhand!
Kalla ljusets höjd h (centimeter) vid tidpunkten t (minuter) efter att ljuset har tänts för h(t).
Nu gäller det för dig att bestämma funktionsuttrycket h(t).
Sim vanligt är det lättate att tänka om man har en bild att utgå från.
Jag föreslår därför att du först ritar ett diagram som visar ljusets höjd vid olika tidpunkter.
Kalla den horisontella (vågräta) axeln för t. Den anger tiden i minuter efter att ljuset tänts. Gradera den så att 20 minuter mostvarar en ruta på ditt papper.
Kalla den vertikala (lodräta) axeln för h. Den anger ljusets höjd i centimeter. Den ska vara graderad från 0 till 30 eftersom ljuset är 30 cm högt från början.
Rita in en rät linje som beskriver hur ljusrts höjd minskar då tiden ökar.
Skriv här när du har gjort det och visa gärna din bild.

Är detta korrekt? Som en funktion till a) uppgiften?

Hur räknar ja ut värdemängd och definitionsmängd?

amisso skrev :

Är detta korrekt? Som en funktion till a) uppgiften?
Hur räknar ja ut värdemängd och definitionsmängd?

Snyggt!

Du har alltså ritat en del av en rät linje. Du kanske kommer ihåg räta linjens ekvation y = kx + m?

Om du kan uttrycka din räta linje på den formen så har du hittat funktionsuttrycket för höjden h.

Men här har du t istället för x och h istället för y.

Kan du alltså skriva ekvationen för denna räta linje på formen h = kt + m?

Det är detta uttryck som är svaret på fråga a.

Yngve skrev :
amisso skrev :
Är detta korrekt? Som en funktion till a) uppgiften?
Hur räknar ja ut värdemängd och definitionsmängd?
Snyggt!
Du har alltså ritat en del av en rät linje. Du kanske kommer ihåg räta linjens ekvation y = kx + m?
Om du kan uttrycka din räta linje på den formen så har du hittat funktionsuttrycket för höjden h.
Men här har du t istället för x och h istället för y.
Kan du alltså skriva ekvationen för denna räta linje på formen h = kt + m?
Det är detta uttryck som är svaret på fråga a.

Tackar! Är ekvationen för linjen då:

y = 20t + 30 ?

Hur räknar ja ut värde och definitionsmängd?

amisso skrev :
Yngve skrev :
amisso skrev :
Är detta korrekt? Som en funktion till a) uppgiften?
Hur räknar ja ut värdemängd och definitionsmängd?
Snyggt!
Du har alltså ritat en del av en rät linje. Du kanske kommer ihåg räta linjens ekvation y = kx + m?
Om du kan uttrycka din räta linje på den formen så har du hittat funktionsuttrycket för höjden h.
Men här har du t istället för x och h istället för y.
Kan du alltså skriva ekvationen för denna räta linje på formen h = kt + m?
Det är detta uttryck som är svaret på fråga a.
Tackar! Är ekvationen för linjen då:
h = 20t + 30 ?

Hur räknar ja ut värde och definitionsmängd?

amisso skrev :
amisso skrev :
Tackar! Är ekvationen för linjen då:
y = 20t + 30 ?
Hur räknar ja ut värde och definitionsmängd?

Det är nästan rätt.

30 är rätt för när tiden är 0 minuter så är y = 20*0 + 30 = 30.

Men 20 är inte rätt. Linjen lutar ju neråt om man går från vänster till höger.

Det betyder att koefficienten framför t (k i formeln y = kt + m) måste vara negativ.

Om k är positiv så skulle det innebära att ljuset skulle bli längre och längre ju längre tid det brinner.

Du vet att när det har gått 300 minuter så har ljuset brunnit ner helt, dvs det är då 0 cm långt. Om du sättet in y = 0 och t = 300 i din formel y = kt + 30 så får du följande ekvation:

0 = k*300 + 30

Om du löser denna ekvation så får du fram vad k ska vara.

Det tänkte jag inte på.

Är det h = -20t + 30 som det ska vara då eftersom lutningen är negativ?

amisso skrev :
Det tänkte jag inte på.
Är det h = -20t + 30 som det ska vara då eftersom lutningen är negativ?

Ja lutningen är negativ så k ska vara mindre än 0.

Men det ska inte vara -20.

Förstår du varför ekvationen 0 = k*300 + 30 ska stämma?
Har du löst den ekvationen?

y = -2x + 30

Definitionsmängd: 0 < x < 5

Efter 5 timmar har ljuset brunnit ner helt

300min / 60 = 5 h

Jag tror jag förstår bättre nu.

amisso skrev :
y = -2x + 30
Definitionsmängd: 0 < x < 5 (de ska va en linje under tecknen med hittar inte detta på min telefon)
Efter 5 timmar har ljuset brunnit ner helt
300min / 60 = 5 h
Jag tror jag förstår bättre nu.

amisso skrev :
amisso skrev :
y = 30 - 2x
Definitionsmängd: 0 < x < 5 (de ska va en linje under tecknen med hittar inte detta på min telefon)
Efter 5 timmar har ljuset brunnit ner helt
300min / 60 = 5 h
Jag tror jag förstår bättre nu.

amisso skrev :
amisso skrev :
y = -2x + 30
Definitionsmängd: 0 < x < 5 (de ska va en linje under tecknen med hittar inte detta på min telefon)
Efter 5 timmar har ljuset brunnit ner helt
300min / 60 = 5 h
Jag tror jag förstår bättre nu.

Ja nu är det rätt tecken på k. Men det är fortfarande fel storlek på k.

Du kan (och bör) kontrollera dina resultat. Det går att göra på följande sätt:

Välj en tidpunkt, till exempel t = 100 minuter. Jämför ljusets längd som du får av din formel y = -2t + 30 då t = 100 med vad din korrekta graf säger om längden på ljuset vid samma tidpunkt.

Dessa resultat ska vara samma. Är de det?

------------

När du har gjort det så kan du gå vidare och besvara mina frågor:

Förstår du varför ekvationen 0 = k*300 + 30 ska stämma?
Har du löst den ekvationen?

Yngve skrev :
amisso skrev :
amisso skrev :
y = -2x + 30
Definitionsmängd: 0 < x < 5 (de ska va en linje under tecknen med hittar inte detta på min telefon)
Efter 5 timmar har ljuset brunnit ner helt
300min / 60 = 5 h
Jag tror jag förstår bättre nu.
Ja nu är det rätt tecken på k. Men det är fortfarande fel storlek på k.
Du kan (och bör) kontrollera dina resultat. Det går att göra på följande sätt:
Pröva att sätta in en tidpunkt t = 100 minuter i din formel y = -2t + 30. Vad säger då formeln om längden på ljuset vid den tidpunkten?
Vad säger din korrekta graf om längden på ljuset vid tidpunkten t = 100 minuter?
Dessa resultat ska vara samma. Är de det?
------------
När du har gjort det så kan du gå vidare och besvara mina frågor:
Förstår du varför ekvationen 0 = k*300 + 30 ska stämma?
Har du löst den ekvationen?

Jag får börja om.

y = kx + m

y motsvarar ljusets höjd (30cm), och m vet vi är 30 eftersom det är där linjen skär i y-axeln.

k ska vara lutningen som vi vet är -2 per 20 min, eller - cm per timme.

Hur ska jag veta vilke än tidsform jag ska stoppa in i formeln? Om jag ska lägga in i minuter eller timmar.

Isåfall så borde funktionen vara:

y = -6x + 30 om det ska anges i timmar.

Men

y = -20x + 30 om det ska anges i minuter?

Svar på dina frågor:

• Jag förstår inte alls det du frågar om, jag har jätte svårt för matte 2 och kämpar verkligen med att försöka förstå.

amisso skrev :
Jag får börja om.
y = kx + m
y motsvarar ljusets höjd (30cm), och m vet vi är 30 eftersom det är där linjen skär i y-axeln.

Ja det stämmer.

k ska vara lutningen som vi vet är -2 per 20 min, eller - cm per timme.

Ja. Det är -2 per 20 minuter, vilket är samma sak som -1 per 10 minuter, vilket är samma sak som -0,1 per minut. Är du med på det?

Eftersom x anges i minuter så ska k vara -0,1.

Hur ska jag veta vilke än tidsform jag ska stoppa in i formeln? Om jag ska lägga in i minuter eller timmar.

Minuter. Det står inte uttryckligen att du ska göra det men det är mest naturligt att göra så.

Isåfall så borde funktionen vara:
y = -6x + 30 om det ska anges i timmar.

Vi kollar: Det skulle innebära att ljuset 6 cm kortare på en timme, dvs 6 cm kortare på 60 minuter, dvs 1 cm kortare på 10 minuter, dvs 0,1 cm kortare på en minut. Det stämmer. Om man skulle ange tiden x i timmar. Men vi ska ange den i minuter.

Men
y = -20x + 30 om det ska anges i minuter?

Vi kollar: Det skulle betyda att ljuset blir 20 cm kortare på 1 minut. Det stämmer inte. Då skulle ljuset bli 0 cm långt redan efter 1,5 minut:

Om x = 1,5 minuter så blir nämligen y = -20*1,5 + 30 = -30 + 30 = 0 cm.

Det stämmer alltså inte.

Svar på dina frågor:
• Jag förstår inte alls det du frågar om, jag har jätte svårt för matte 2 och kämpar verkligen med att försöka förstå.

OK. Jag försöker förklara.

Ekvationen y = k*x + m beskriver hur långt ljuset är (y cm) när det har brunnit i x minuter.

När x = 0 så lyder ekvationen y = k*0 + m.

Vi vet att när tiden x = 0 så är ljusets längd y lika med 30 centimeter.

Det ger dig sambandet 30 = k*0 + m, dvs 30 = 0 + m, dvs m = 30. Detta har du redan konstaterat.

Du har då bestämt vad m har för värde och du kan då skriva ekvationen på följande sätt: y = k*x + 30.

Nu vill du ta reda på vad k är.

Du känner till en annan punkt på linjen, nämligen den då ljuset har brunnit ner och är 0 cm långt.

Du vet att det händer vid tidpunkten x = 300 minuter.

Om du sätter in y = 0 cm och x = 300 minuter i ekvationen så får du ekvationen

0 = k*300 + 30.

Vi löser den ekvationen genom att subtrahera 30 från båda sidor:

0 - 30 = k*300 + 30 - 30

Förenkla:

-30 = k*300

Dividera båda sidor med 300:

-30/300 = k*300/300

Förenkla:

-0,1 = k

Du har alltså kommit fram till att k = -0,1.

Hängde du med?

---------

Detta bygger på att alla punkter (x, y) på linjen uppfyller sambandet y = k*x + m.

Vi använde två av alla dessa punkter för att bestämma först m och sedan k.

Yngve skrev :
amisso skrev :
Jag får börja om.
y = kx + m
y motsvarar ljusets höjd (30cm), och m vet vi är 30 eftersom det är där linjen skär i y-axeln.
Ja det stämmer.
k ska vara lutningen som vi vet är -2 per 20 min, eller - cm per timme.
Ja. Det är -2 per 20 minuter, vilket är samma sak som -1 per 10 minuter, vilket är samma sak som -0,1 per minut. Är du med på det?
Eftersom x anges i minuter så ska k vara -0,1.
Hur ska jag veta vilke än tidsform jag ska stoppa in i formeln? Om jag ska lägga in i minuter eller timmar.
Minuter. Det står inte uttryckligen att du ska göra det men det är mest naturligt att göra så.
Isåfall så borde funktionen vara:
y = -6x + 30 om det ska anges i timmar.
Vi kollar: Det skulle innebära att ljuset 6 cm kortare på en timme, dvs 6 cm kortare på 60 minuter, dvs 1 cm kortare på 10 minuter, dvs 0,1 cm kortare på en minut. Det stämmer. Om man skulle ange tiden x i timmar. Men vi ska ange den i minuter.
Men
y = -20x + 30 om det ska anges i minuter?
Vi kollar: Det skulle betyda att ljuset blir 20 cm kortare på 1 minut. Det stämmer inte. Då skulle ljuset bli 0 cm långt redan efter 1,5 minut:
Om x = 1,5 minuter så blir nämligen y = -20*1,5 + 30 = -30 + 30 = 0 cm.
Det stämmer alltså inte.
Svar på dina frågor:
• Jag förstår inte alls det du frågar om, jag har jätte svårt för matte 2 och kämpar verkligen med att försöka förstå.
OK. Jag försöker förklara.
Ekvationen y = k*x + m beskriver hur långt ljuset är (y cm) när det har brunnit i x minuter.
När x = 0 så lyder ekvationen y = k*0 + m.
Vi vet att när tiden x = 0 så är ljusets längd y lika med 30 centimeter.
Det ger dig sambandet 30 = k*0 + m, dvs 30 = 0 + m, dvs m = 30. Detta har du redan konstaterat.
Du har då bestämt vad m har för värde och du kan då skriva ekvationen på följande sätt: y = k*x + 30.
Nu vill du ta reda på vad k är.
Du känner till en annan punkt på linjen, nämligen den då ljuset har brunnit ner och är 0 cm långt.
Du vet att det händer vid tidpunkten x = 300 minuter.
Om du sätter in y = 0 cm och x = 300 minuter i ekvationen så får du ekvationen
0 = k*300 + 30.
Vi löser den ekvationen genom att subtrahera 30 från båda sidor:
0 - 30 = k*300 + 30 - 30
Förenkla:
-30 = k*300
Dividera båda sidor med 300:
-30/300 = k*300/300
Förenkla:
-0,1 = k
Du har alltså kommit fram till att k = -0,1.
Hängde du med?
---------
Detta bygger på att alla punkter (x, y) på linjen uppfyller sambandet y = k*x + m.
Vi använde två av alla dessa punkter för att bestämma först m och sedan k.

Tack så jätte mycket för att du tog dig tid.

Nu förstår jag vad du menar med "Ja. Det är -2 per 20 minuter, vilket är samma sak som -1 per 10 minuter, vilket är samma sak som -0,1 per minut. Är du med på det?
Eftersom x anges i minuter så ska k vara -0,1." när jag kollar på grafen jag ritat då lutningen är -0,1 steg i x-axeln per minut, eftersom 10 min är 1 steg och 2 min är 20 steg.

Definationsmängden borde då vara (om jag har förstått rätt på hur man anger detta):

0 ≤ x ≤ 5

Värdemängden är:

0 ≤ x ≤ 30cm

Ange sort även på definitionsmängden

larsolof skrev :
Ange sort även på definitionsmängden

0 ≤ x ≤ 5 h (timmar)

Då uppgifterna a) och b) hör ihop bör du ange tiden i
samma sort (minuter eller timmar) i båda svaren.

Så om du har funktionen y=-0,1x+30 (x=minuter)
bör du ange definitionsmängden 0 ≤ x ≤ 300 minuter

Om du har definitionsmängden 0 ≤ x ≤ 5 timmar
bör du skriva funktionen y=-6x+30 (x=timmar)

larsolof skrev :
Då uppgifterna a) och b) hör ihop bör du ange tiden i
samma sort (minuter eller timmar) i båda svaren.
Så om du har funktionen y=-0,1x+30 (x=minuter)
bör du ange definitionsmängden 0 ≤ x ≤ 300 minuter
Om du har definitionsmängden 0 ≤ x ≤ 5 timmar
bör du skriva funktionen y=-6x+30 (x=timmar)

Jag förstår. Då tar jag och anger definationsmängden i minuter eftersom det är de dom angav i uppgiften, och de vi gjort i funktionen och det jag ritade i grafen :)

amisso skrev :
Tack så jätte mycket för att du tog dig tid.

Varsågod. Jag är glad att kunna hjälpa.

Nu förstår jag vad du menar med "Ja. Det är -2 per 20 minuter, vilket är samma sak som -1 per 10 minuter, vilket är samma sak som -0,1 per minut. Är du med på det?
Eftersom x anges i minuter så ska k vara -0,1." när jag kollar på grafen jag ritat då lutningen är -0,1 steg i x-axeln per minut, eftersom 10 min är 1 steg och 2 min är 20 steg.

Vad bra att polletten trillade ner.