Problemlösning
När en homogen metallcylinder värms upp utvidgar den sig. Ökningen i längd med avseende på temperaturen är proportionell mot den aktuella längden. När temperaturen är 0 °Cär stavens längd 1 120 mm. Vid en ökning av temperaturen till 20 °C har längden ökat med 2,0%.
Hur ställer man upp en differentialekvation till detta?
Låt L(t) vara längden vid tiden t. Då är L´(t)=k L(t) enligt den givna proportionaliteten. Det är diff ekv. som du efterfrågar. Det står uppgifter för att bestämma uppkomna konstanter, men inte vad det är som söks.
Återkom om det är något mer som spökar.
aa Jag har testat att använda mig av vanligt modell av diffekevationer som är y'=ky sedan vi har begynnelsevillkor y(0)=1120 men jag kan inte komma fram till samma differentialekvation som lösningen som är y'=0,001y. Har jag missat något?
aa Jag har testat att använda mig av vanligt modell av diffekevationer som är y'=ky sedan vi har begynnelsevillkor y(0)=1120 men jag kan inte komma fram till samma differentialekvation som lösningen som är y'=0,001y. Har jag missat något?
Du har två villkor: ett vid t=0 och ett vid t=20. Du har två konstanter att bestämma: dels prop konstanten som jag kallar k och dels en integrationskonstant som uppstår när diffekv ska lösas. Det borde räcka. Kan du skriva tydligt hur du gör så kanske jag kan se vad som ev går snett.
Det är en uppgift utan räknare så det blir ganska svårt att använda den andra vilkor, kan du snälla lösa den så jag kan studiera lösningen, jag förstår bättre när jag har en lösning framför mig.
Du har kommit fram till ekv y´(t)= k y(t) vilket är den rätta formen. Om uppgiften bara handlar om att ställa upp diffekv så återstår endast att bestämma konstanten k med hjälp av tillgängliga data. Löser vi din ekv. får vi y(t)=C ekt Vi har T(0)=1120 dvs C*ek*0 = 1120 som ger C=1120. Vidare är T(20)=1,02*1120 = 1,02*C => C ek*20 =1,02 C => 20k= ln(1,02). Eftersom du är utan räknare får vi approximera ln(1,02) och då kan vi utnyttja att ex = ungefär (1+x) för små värden på x. Vi konstaterar att 0,02 är ett litet värde och får att ln(1+x) = x => ln(1,02) = 0,02. Således 20k=0,02 => k=0,001 Du har alltså ekv y´= 0,001*y där alla likhetstecken i de tre sista raderna är ungefärliga.
khed skrev:Det är en uppgift utan räknare så det blir ganska svårt att använda den andra vilkor, kan du snälla lösa den så jag kan studiera lösningen, jag förstår bättre när jag har en lösning framför mig.
Pluggakuten är inte till för att du ska få färdiga lösningar, utan att du ska få hjälp att lösa dina problem själv. /moderator
tack, jag blev förvirad på att man skulle inte använda miniräknare då jag trodde det fanns ett enklare sätt att lösa som jag har missat, men tack för svaret nu förstår jag hur gör man.
Att du blev förvirrad av uppgiften är inte ditt fel utan beror på uppgiftens alltför vaga formulering. Det står t ex inte att det är tillåtet med approximation. Normalt är det otillåtet. Att du då letar efter någon metod att lösa uppgiften exakt är inte konstigt. Här är ett exempel på när detta är möjligt: "Bestäm sin 15o om man vet att sin 30o =0,5". Detta var skälet till att jag efter försök att hinta dig ändå gav dig ett förslag till lösning, där det var jag som fattade beslutet att approximera. När det inte ens klart framgår att du ska bestämma konstanten k, skulle jag ge dig rätt redan när du skriver y´= k*y.
