Problem som löses med geometriska satser
Uppgiften lyder:
På en cirkel med radie r markerar man i ordning fem punkter A, B, C, D och E så att AB = BC = CD = r och E delar bågen AD i två lika stora delar. Bestäm vinklarna i den triangel
som bildas av punkterna A, C och E.
Jag tolkar i uppgiften att sträckorna AB, BC och CD ligger på cirkelns rand, men det står inte tydligt i uppgiften.
Det kanske finns fler satser som jag inte tagit hänsyn till, som gör att jag kan lösa uppgiften... men jag förstår inte varför min lösning inte fungerar.
Det är inte cirkelbågen mellan A och B som har längden r utan linjen mellan A och B!
AB, BC, CD, DE och EA är sträckor, d v s räta linjer. De kan alltså inte sammanfalla med cirkelns rand, som är krökt.
Börja med att titta på sträckan AB. Det står att den har längden r, d v s lika med cirkelns radie. Det betyder att triangeln ABM, där M är cirkelns medelpunkt, är... Sedan kan du genomför a samma resonemang för trianglarna BCM och CDM. Detta innebär att AMD är en...
Det står i texten att punkten E ligger halvvägs mellan A och D. Det betyder att triangeln ADE är ... och ...
Kan du räkna ut vad det skall stå på de fyra streckade linjerna?
Väldigt otydlig uppgift, kan du ladda upp en bild på uppgiftslydelsen?
Yngve skrev:Väldigt otydlig uppgift, kan du ladda upp en bild på uppgiftslydelsen?
Vad var otydligt? Har jag missat något?
Smaragdalena skrev:
Vad var otydligt? Har jag missat något?
Om uppgiftslydelsen var som det står i trådstarten, nämligen:
På en cirkel med radie r markerar man i ordning fem punkter A, B, C, D och E så att AB = BC = CD = r och E delar bågen AD i två lika stora delar. Bestäm vinklarna i den triangel som bildas av punkterna A, C och E.
så står det ju inget om sträckor. Det framgår alltså inte huruvida AB, BC och CD är kordor eller cirkelbågar.
Om den första figuren ingår i uppgiftslydelsden (vilket jag inte tror) så är det uppenbart att det som avses är cirkelbågar och inte kordor.
Jag tittade på facit och drog slutsatsen att AB och så vidare var sträckor. Du har rätt att det borde ha stått i uppgiften.
Uppgiftslydelsen är den som står i trådstarten.
Bilderna (figurerna) ritade jag själv efter tolkning.
Då tycker jag att det var en dåligt formulerad uppgift och att din tolkning var lika god som någon.
Och välkommen till Pluggakuten!
Nu har jag ritat om uppgiften
Jag lägger till sträckan AD
Jag döper vinkel EDA och vinkel EAD till x, eftersom triangel EAD är likbent, enligt uppgiften
Jag döper vinkel CAB och vinkel BCA till y, eftersom triangel ECB är likbent, enligt uppgiften då AB och BC är båda r långa
Vinkel ECA ser jag då är lika stor som vinkel EDA, pga randvinkelsatsen. Både triangel EDA och triangel EAD delar en sida som är en korda, och har sitt tredje hörn på cirkelns rand.
På samma sätt kan jag lägga till fler sträckor och beskriva alla vinklar som antingen x eller y. Alla trianglar som ligger på samma korda, har lika stora tredje vinklar. Det säger randvinkelsatsen.
Det saknas dock några värden, för att jag ska kunna lösa uppgiften. Jag kollar då på uppgiften från början. Jag inser att de tre sträckorna som är r långa tillsammans bildar en halvcirkel, vilket betyder att AD är en diameter. Med hjälp av att beskriva sträckorna som r, så ser jag att det bildas liksidiga trianglar. Liksidiga trianglars vinklar är 60 grader. Vid mittpunkten ser man då att 60 + 60 + 60 = 180. alltså är sträckan rak och går igenom cirkelns mittpunkt. AD är en diameter!
Enligt randvinkelsatsen är vinkeln som ligger på cirkelns rand i en triangel där den tredje sidan utgör diameter, 90 grader.
2x = 90
x = 45 grader
På samma sätt är vinkel DEA också vinkelrät
3y = 90
y=30
Jag kan då skriva in vinklarna i triangeln
Summerar jag får jag till slut de olika vinklarna i triangeln.
Det stämmer med facit.
Tack för hjälpen!
