Problem med induktionsuppgift

Hyteel skrev:

Det som gör mig mest förvirrad är hur cos bytt ut mot sin i svaret.  

Sinus eller cosinus spelar kanske ingen roll här. Det kan vara lika rätt båda två. 

Men om de anser att det är viktigt gäller att spänningen är tidsderivatan av flödet:

Den inducerade spänningen är då $\varepsilon = -N \dfrac{d\Phi}{dt}= -N \dfrac{d}{dt} (\Phi_m \cos{\omega t})= N\omega \Phi_m \sin\omega t.$

Pieter Kuiper skrev:

Hyteel skrev:

Det som gör mig mest förvirrad är hur cos bytt ut mot sin i svaret.  

Sinus eller cosinus spelar kanske ingen roll här. Det kan vara lika rätt båda två. 

Men om de anser att det är viktigt gäller att spänningen är tidsderivatan av flödet:

Den inducerade spänningen är då $\varepsilon = -N \dfrac{d\Phi}{dt}= -N \dfrac{d}{dt} (\Phi_m \cos{\omega t})= N\omega \Phi_m \sin\omega t.$

Varför kunde du bryta ur (Φmcosωt) från det övre deltavärdet? Delta*Variabel kan man väll inte bara separera på det sättet? Delta är väll i förhållande till variabeln man har "bundit" den till? Man kan väll inte skriva: a = db, b = a/d

Och sen också intressant, är det därifrån derivatan kommer? delta/delta*variabel? Trodde alltid att det bara var skrivet så av någon anledning. Förstår mig fortfarande inte riktigt på det men det är ju trotts allt en kalkylfråga och inte fysik.

Uppgiften kräver nog en del matematik som du kanske inte har fått lära dig än. I så fall ser det här helt konstigt och obegripligt ut. Det skulle gå för långt att förklara notationen med infinitesimaler, men ja, så här brukar man skriva derivator.

Varför kunde du bryta ur (Φmcosωt) från det övre deltavärdet? Delta*Variabel kan man väll inte bara separera på det sättet? Delta är väll i förhållande till variabeln man har "bundit" den till?

Symbolen $\mathrm{d}$ som används i Leibniz notation står inte för "delta", utan för "differentia". I Leibniz värld betecknade detta en infinitesimal förändring i en variabel. En positiv infinitesimal är ett tal som är strikt större än noll men strikt mindre än alla reella tal som finns. Dessa objekt kan konstrueras i ZFC (de mängdteoretiska axiomen som hela matematiken bygger på). "Delta" betecknar vi i matematiken med den (förhoppningsvis bekanta) triangeln $\Delta$. $\Delta$ används när förändringen är reell. 

Man kan välja att se objekt som $\mathrm{d}\phi$ och $\mathrm{d}t$ som objekt i sig. Då är derivator faktiskt kvoter av infinitesimaler. Det är ingen slump att derivatanotationen ser så lik ut ett bråk ;). Detta är ibland fördelaktigt i fysiken och kemin eftersom det underlättar vid en del beräkningar. Trots detta brukar man oftast prata om differentialoperatorer:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

Ur denna synvinkel existerar det inga infinitesimaler, dvs. $\mathrm{d}\phi$ i sig är inget som existerar. Men man brukar ändå skriva variabeln ihop med differentiasymbolen. 

Båda dessa synsätt producerar exakt likadana resultat, så egentligen spelar det ingen roll hur man väljer att se det.

Tillägg: 14 aug 2024 11:31

Detta är naturligtvis inget man brukar lära sig i skolan så det är överkurs, men förhoppningsvis kunde det vara till lite hjälp!

naytte skrev:
Man brukar oftast prata om differentialoperatorer:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

Ur denna synvinkel existerar det inga infinitesimaler, dvs. $\mathrm{d}\phi$ i sig är inget som existerar. Men man brukar ändå skriva variabeln ihop med differentiasymbolen. 

Precis, utmärkt förklaring.

Jag lyfter ut här den viktiga biten för att tolka notationen, att $\frac{d}{dt}$ bäst ses som en enhet, som symbolen för differentialoperatorn, som beteckning för rate of change av en storhet.

Det finns en alternativ notation för tidsderivatan, pricknotation, som är mer kompakt. Då skulle man skriva $\dot{\Phi}$. Det är vanligare i mekanik där det finns så mycket sådant, som att hastigheten är $v = \dot{s} = \dfrac{{\rm d}s}{{\rm d}t}$ och accelerationen är andra derivatan: $a = \ddot{s} = \dfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t} =\dfrac{{\rm d}^2s}{{\rm d}t^2}.$

Ok! Vanligtsvis när jag vill få ut voltaget med hjälp av faradays induktionslag så blir det

$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=-N\frac{∆\Phi }{∆t}$

Ex. I en spole med 50 varv går ett flöde på 5Φ till 2Φ efter 2 sekunder, hur stor blir den inducerande spänningen?

$\epsilon =-50*\frac{5\Phi -2\Phi }{0s -2s}=75V$

Men då är det så att spänningen = N * linjens lutning. Vilket i ovan fallet tas fram genom DeltaY/DeltaX, men som annars tas fram genom derivatan?

PS. Har aldrig greppat varför derivatan fungerar så som den gör (memoriserade bara hur man deriverade) men tack vare förklaringen så har jag fått lite bättre grepp om det!

PS. Har aldrig greppat varför derivatan fungerar så som den gör (memoriserade bara hur man deriverade) men tack vare förklaringen så har jag fått lite bättre grepp om det!

Grundläggande analys är inte helt trivial om man inte riktigt kommer in i det. Men själva grundidén i derivering är att man väljer två punkter och flyttar dem "oändligt nära" varandra. Då får man "en lutning i en punkt". Jag föredrar tolkningar med infinitesimaler i sådana här sammanhang, för trots att kurvan kanske "böjer sig" så kan den vara "rak" på det infinitesimala planet. Detta är grundidén bakom smooth infinitesimal analysis. Man tänker att alla kurvor kan beskrivas med oändligt många raka infinitesimala segment.

Om du är intresserad av detta så rekommenderar jag Elementary Calculus: an infinitesimal approach av H. Jerome Keisler. Helt fantastisk bok. Keisler visar i den (och sina andra böcker) hur man kan konstruera analys (både envarren och flervarren) med infinitesimaler.

naytte skrev:

PS. Har aldrig greppat varför derivatan fungerar så som den gör (memoriserade bara hur man deriverade) men tack vare förklaringen så har jag fått lite bättre grepp om det!

Grundläggande analys är inte helt trivial om man inte riktigt kommer in i det. Men själva grundidén i derivering är att man väljer två punkter och flyttar dem "oändligt nära" varandra. Då får man "en lutning i en punkt". Jag föredrar tolkningar med infinitesimaler i sådana här sammanhang, för trots att kurvan kanske "böjer sig" så kan den vara "rak" på det infinitesimala planet. Detta är grundidén bakom smooth infinitesimal analysis. Man tänker att alla kurvor kan beskrivas med oändligt många raka infinitesimala segment.

Om du är intresserad av detta så rekommenderar jag Elementary Calculus: an infinitesimal approach av H. Jerome Keisler. Helt fantastisk bok. Keisler visar i den (och sina andra böcker) hur man kan konstruera analys (både envarren och flervarren) med infinitesimaler.

Oj vilken bra förklaring, det förtydliggjorde verkligen det mesta.

Och tack för tipset! Ska definitivt lägga den på önskelistan.

Kolla dessutom in den här artikeln:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivata/derivata#!/

Jag tycker den är ganska pedagogisk.