Problem med divergenstestet

Enligt divergenstestet divergerar $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ när $\lim_{k \to \infty} a_{k} \neq 0$ .

Varför finns det serier som divergerar trots att de inte uppfyller $\lim_{k \to \infty} a_{k} \neq 0$ ?

Divergenstestet (om det nu är då det kallas) säger att det är nödvändigt för konvergens att a_k går mot 0 när k går mot oändligheten.

Det säger ingenting om att det är tillräckligt för konvergens att a_k går mot 0 när k går mot oändligheten.

Med a_k = 1/k så går a_k mot 0 när k går mot oändligheten. Serien är divergent.

Med a_k = (-1)^k/k så går a_k mot 0 när k går mot oändligheten. Serien är konvergent.

Lite slarvigt kan man säga att det inte är säkert att summan av oändligt många "nollor" blir 0.

Divergenstestet säger då att om a _k inte går mot 0 är serien divergent. Den säger nada om konvergens. Stämmer det?

Det kallas divergenstestet, inte konvergenstestet.

Svara

Visa senaste svar