Problem med att få fram standardmatrisen med olika baser

$$\begin{gathered} Om vi säger att A är avbildningsmatrisen m.a.p s\tan dradbasen. \\ \hat{A} är avbildningsmatrisen m.a.p basen B. \hat{A}=\left[\begin{array}{cc}-1& 11\\ 2& -8\end{array}\right] \\ S är basbytesmatrisen S=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right] \\ Så är \hat{A}=S^{-1}AS \Rightarrow A=? \end{gathered}$$

Kommer du vidare

Mohammad Abdalla skrev:

$$\begin{gathered} Om vi säger att A är avbildningsmatrisen m.a.p s\tan dradbasen. \\ \hat{A} är avbildningsmatrisen m.a.p basen B. \hat{A}=\left[\begin{array}{cc}-1& 11\\ 2& -8\end{array}\right] \\ S är basbytesmatrisen S=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right] \\ Så är \hat{A}=S^{-1}AS \Rightarrow A=? \end{gathered}$$

Kommer du vidare

Ja jag kan komma vidare men förstår inte varför är A standardmatrisen? Och vad står m.a.p för?

Det är förteckning, den kan heta vad som helst B C M .... 

m.a.p står för med avseende på.

Mohammad Abdalla skrev:

Det är förteckning, den kan heta vad som helst B C M .... 

m.a.p står för med avseende på.

Jag menade varför man använder just den där formeln för att få fram standard matrisen?

Denna formeln beskriver sambandet mellan avbildningsmatriserna i standardbasen och i en annan bas.

En vektor X i definitionsmängden avbildas med vektorn Y i målmängden. (Y=AX)(A är avbildningsmatrisen m.a.p standardbasen)

När man byter till en ny bas B så samma vektor X för nya koordinater och blir $\hat{X}$ och den avbildas till vektorn $\hat{Y}$.     ($\hat{Y}=\hat{A}\hat{X}$)

För att vi ska beräkna $\hat{A}$(Avbildningsmatrisen m.a.p nya basen B):

X=S$\hat{X}$ och  $Y=S\hat{Y}$ där S är basbytesmatrisen.

$$\begin{gathered} Y=S\hat{Y} \\ Y=AX \Rightarrow S\hat{Y}=AS\hat{X} \Rightarrow \hat{Y}=S^{-1}AS\hat{X} \Rightarrow \hat{Y}=\hat{A}\hat{X} \hat{A}=S^{-1}AS \end{gathered}$$

Mohammad Abdalla skrev:

Denna formeln beskriver sambandet mellan avbildningsmatriserna i standardbasen och i en annan bas.

En vektor X i definitionsmängden avbildas med vektorn Y i målmängden. (Y=AX)(A är avbildningsmatrisen m.a.p standardbasen)

När man byter till en ny bas B så samma vektor X för nya koordinater och blir $\hat{X}$ och den avbildas till vektorn $\hat{Y}$.     ($\hat{Y}=\hat{A}\hat{X}$)

För att vi ska beräkna $\hat{A}$(Avbildningsmatrisen m.a.p nya basen B):

X=S$\hat{X}$ och  $Y=S\hat{Y}$ där S är basbytesmatrisen.

$$\begin{gathered} Y=S\hat{Y} \\ Y=AX \Rightarrow S\hat{Y}=AS\hat{X} \Rightarrow \hat{Y}=S^{-1}AS\hat{X} \Rightarrow \hat{Y}=\hat{A}\hat{X} \hat{A}=S^{-1}AS \end{gathered}$$

Hur vet man att A är en standard matrisen?

Den linjära avbildningen T kan beskrivas med oändligt många matriser beroende på basen. Vi kallar matrisen med avseende på standard basen för A. Man kan kalla det för B, C, S ....

Man utgår alltid från standardbasen då det är enkelt att skriva vilken vektor som helst (speciellt kolonnerna i basbytesmatrisen) som en linjär kombination av standardbasen. 

Formeln   $\widehat{A }=S^{-1}AS$ beskriver sambandet mellan:

A : Avbildningsmatrisen m.a.p standardbasen.

$\hat{A}$: Avbildningsmatrisen m.a.p vilken bas som helst B.

S : Basbytesmatrisen.

Mohammad Abdalla skrev:

Den linjära avbildningen T kan beskrivas med oändligt många matriser beroende på basen. Vi kallar matrisen med avseende på standard basen för A. Man kan kalla det för B, C, S ....

Man utgår alltid från standardbasen då det är enkelt att skriva vilken vektor som helst (speciellt kolonnerna i basbytesmatrisen) som en linjär kombination av standardbasen. 

Formeln   $\widehat{A }=S^{-1}AS$ beskriver sambandet mellan:

A : Avbildningsmatrisen m.a.p standardbasen.

$\hat{A}$: Avbildningsmatrisen m.a.p vilken bas som helst B.

S : Basbytesmatrisen.

Jaha tack så mycket för hjälpen Mohammad!