Problem med Additionsprincipen
Hej
Har lite problem med additionsprincipen ibland..
T.ex. med denna uppgift:
Lubna ska långa ljudböcker på bibliotek. Hon väljer mellan fem deckare, tre biografier och fyra fantasyböcker.
På hur många sätt kan hon välja tre böcker med en i varje genre?
Jag får detta till 47 sätt.
Tänker följande (bara för att vara extra tydlig):
Nu till det som gör mig lite osäker:
Additionsprincipen säger att om 1 föremål ska väljas från en mängd med p föremål eller från en mängd med q föremål så kan detta ske på p+q sätt.
*Förutsatt att dessa mängder inte har något föremål gemensamt.
Jag väljer ju inte bara 1 föremål nu, men varför kan jag egentligen räkna ut det som jag gör? Jag räknar ju med att mängderna har gemensamma föremål när det uppenbart står att jag inte ska ha något föremål gemensamt..Tänker på den del i min uträkning då jag t.ex. väljer 1 föremål från mängden fem deckare och gör samma val nästa gång och adderar dessa (syftar på de rödmarkerade valen).
Jag brukar med additionsprincipen bara tänka "eller" - jag kan göra valet på detta sätt eller på detta eller på detta osv osv...Så adderar jag bara de olika kombinationerna så som jag gjort ovanför. Det är just *Förutsatt att dessa mängder inte har något föremål gemensamt som krånglar till det lite..
Jag får det till 60 sätt. 5*3*4 = 60. Det skall ju vara en bok från varje genre.
smaragdalena skrev :Jag får det till 60 sätt. 5*3*4 = 60. Det skall ju vara en bok från varje genre.
Det är korrekt det! Jag som råkat skriva ut fel fråga (typiskt)...Det ska stå
På hur många sätt kan hon välja 2 böcker i olika genrer?
Vissa principer/metoder i matematiken tycker jag bara verkar ställa till det för folk mer än nödvändigt, additionsprincipen är en av dom. Som du säger så brukar du bara tänka "eller" och jag antar att du förstår varför det fungerar, det är huvudsaken. Så jag tror inte du ska hänga upp dig speciellt mycket på vad en princip säger. Men även om jag är lite negativ mot att det ens finns en idé som kallas för additionsprincipen, så sätter meningen "*Förutsatt att ...." ord på ett vanlig misstag inom kombinatoriken och det är dubbelräkningar.
För att ta ett exempel, säg att vi ska skapa "ord" med tre bokstäver som bara innehåller bokstäverna A och B. Så exempelvis är ABA och BBA sådana ord. Frågan är nu på hur många ord som innehåller två A:n som står bredvid varandra?
Säg att vi löser det på följande sätt, vi delar upp det i två fall. Antingen har vi fallet
AAx: Där x kan vara A eller B, så här har vi två ord. Eller så har vi fallet
xAA: Där x kan vara A eller B, så även här har vi två ord.
Så sammanlagt blir detta 2 + 2 = 4 olika ord.
Denna lösning är felaktig, den bryter mot att "mängderna inte har något gemensamt föremål". I båda fallen så ingår ordet AAA och detta ord räknas alltså två gånger, vilket man brukar kalla för en dubbelräkning. Det korrekta svaret på frågan bör vara 3 ord.
Det är alltså detta meningen "*Förutsatt att dessa ...." försöker säga, om samma föremål hamnar i flera av fallen så kan man inte bara addera hur många det är i varje fall.
Stokastisk skrev :Vissa principer/metoder i matematiken tycker jag bara verkar ställa till det för folk mer än nödvändigt, additionsprincipen är en av dom. Som du säger så brukar du bara tänka "eller" och jag antar att du förstår varför det fungerar, det är huvudsaken. Så jag tror inte du ska hänga upp dig speciellt mycket på vad en princip säger. Men även om jag är lite negativ mot att det ens finns en idé som kallas för additionsprincipen, så sätter meningen "*Förutsatt att ...." ord på ett vanlig misstag inom kombinatoriken och det är dubbelräkningar.
För att ta ett exempel, säg att vi ska skapa "ord" med tre bokstäver som bara innehåller bokstäverna A och B. Så exempelvis är ABA och BBA sådana ord. Frågan är nu på hur många ord som innehåller två A:n som står bredvid varandra?
Säg att vi löser det på följande sätt, vi delar upp det i två fall. Antingen har vi fallet
AAx: Där x kan vara A eller B, så här har vi två ord. Eller så har vi fallet
xAA: Där x kan vara A eller B, så även här har vi två ord.
Så sammanlagt blir detta 2 + 2 = 4 olika ord.
Denna lösning är felaktig, den bryter mot att "mängderna inte har något gemensamt föremål". I båda fallen så ingår ordet AAA och detta ord räknas alltså två gånger, vilket man brukar kalla för en dubbelräkning. Det korrekta svaret på frågan bör vara 3 ord.
Det är alltså detta meningen "*Förutsatt att dessa ...." försöker säga, om samma föremål hamnar i flera av fallen så kan man inte bara addera hur många det är i varje fall.
Åh nu fick jag en riktig AHA-upplevelse! Tack så mycket!!! :-)
