Problem lösning, tillämpningar

ska jag börja med att räkna ut integralens värde genom att räkna arean? $A = \frac{b * h}{2}$

Denniiis skrev :

ska jag börja med att räkna ut integralens värde genom att räkna arean? $A = \frac{b * h}{2}$

Ja det låter som en bra start. Eller så kan du ju använda dig av räta linjens ekvation och ta fram f'(t) (den röda linjen ekv) som ju beskriver hastigheten med vilken publiken ökar i lokalen. Integrera sedan funktionen inom intervallet $0\le t\le 10$ så får du arean under grafen. Arean kommer beskriva antalet personer i biosalongen, för när du integrerar så multiplicerar du y-axelns enhet med x-axelns :)

Mathkhin skrev :

Denniiis skrev :

ska jag börja med att räkna ut integralens värde genom att räkna arean? $A = \frac{b * h}{2}$

Ja det låter som en bra start. Eller så kan du ju använda dig av räta linjens ekvation och ta fram f'(t) (den röda linjen ekv) som ju beskriver hastigheten med vilken publiken ökar i lokalen. Integrera sedan funktionen inom intervallet $0\le t\le 10$ så får du arean under grafen. Arean kommer beskriva antalet personer i biosalongen, för när du integrerar så multiplicerar du y-axelns enhet med x-axelns :)

Tack för det snabba svaret, inte riktigt säker på om jag hänger med i hur jag ska använda mig av räta linjens ekvation i detta fall.

Denniiis skrev :

Mathkhin skrev :

Visa föregående citat

Denniiis skrev :

ska jag börja med att räkna ut integralens värde genom att räkna arean? $A = \frac{b * h}{2}$

Ja det låter som en bra start. Eller så kan du ju använda dig av räta linjens ekvation och ta fram f'(t) (den röda linjen ekv) som ju beskriver hastigheten med vilken publiken ökar i lokalen. Integrera sedan funktionen inom intervallet $0\le t\le 10$ så får du arean under grafen. Arean kommer beskriva antalet personer i biosalongen, för när du integrerar så multiplicerar du y-axelns enhet med x-axelns :)

Tack för det snabba svaret, inte riktigt säker på om jag hänger med i hur jag ska använda mig av räta linjens ekvation i detta fall.

Linjen skär y-axeln i punkten (0,80) och x-axeln i punkten (10,0). Kan du forsätta härifrån? Börja med att ta fram linjens lutning - k-värdet :) Jag hjälper dig annars. Förresten kalla denna funktion N'(t) istället för f'(t)

EDIT.

Mathkhin skrev :

Denniiis skrev :

Visa föregående citat

Mathkhin skrev :

Denniiis skrev :

ska jag börja med att räkna ut integralens värde genom att räkna arean? $A = \frac{b * h}{2}$

Ja det låter som en bra start. Eller så kan du ju använda dig av räta linjens ekvation och ta fram f'(t) (den röda linjen ekv) som ju beskriver hastigheten med vilken publiken ökar i lokalen. Integrera sedan funktionen inom intervallet $0\le t\le 10$ så får du arean under grafen. Arean kommer beskriva antalet personer i biosalongen, för när du integrerar så multiplicerar du y-axelns enhet med x-axelns :)

Tack för det snabba svaret, inte riktigt säker på om jag hänger med i hur jag ska använda mig av räta linjens ekvation i detta fall.

Linjen skär y-axeln i punkten (0,80) och x-axeln i punkten (10,0). Kan du forsätta härifrån? Börja med att ta fram linjens lutning - k-värdet :) Jag hjälper dig annars. Förresten kalla denna funktion N'(t) istället för f'(t)

Okej, K värdet fick jag fram att bli 8 genom att ta delta Y och dela på delta X. Vad gör jag nu?

Bra. Använd dig nu av räta linjens ekvation N'(t)=kx+m

Sätt in en av punkterna (0,80) eller (10,0) (vilken du vill) och k-värdet du fått fram i denna ekvation och lös ut m, så får ju ekvationen N'(t).

Mathkhin skrev :

Bra. Använd dig nu av räta linjens ekvation N'(t)=kx+m

Sätt in en av punkterna (0,80) eller (10,0) (vilken du vill) och k-värdet du fått fram i denna ekvation och lös ut m, så får ju ekvationen N'(t).

m = 80, om jag räknat rätt?

Hmm..

Det har blivit lite fel i din beräkning. Det gäller ju att:

$$\begin{gathered} k=\frac{∆N}{∆t}=\frac{0-80}{10-0}=-8 \\ m=80 \\ Alltså är: \\ N\text{'}\left(t\right)=-8t+80 \end{gathered}$$

Den är ekvationen motsvarar den röda linjen i figuren. Du vill nu beräkna arean under linjen - vilket är samma sak som att beräkna värdet på av intgralen: 

${\int }_0^{10}(-8t+80)dt$  

Är du med på varför jag ställt upp denna integral? Det är viktigt. Annars rekommenderar jag att du tar en titt på kapitlet om integraler. 

Mathkhin skrev :

Hmm..

Det har blivit lite fel i din beräkning. Det gäller ju att:

$$\begin{gathered} k=\frac{∆N}{∆t}=\frac{0-80}{10-0}=-8 \\ m=80 \\ Alltså är: \\ N\text{'}\left(t\right)=-8t+80 \end{gathered}$$

Den är ekvationen motsvarar den röda linjen i figuren. Du vill nu beräkna arean under linjen - vilket är samma sak som att beräkna värdet på av intgralen: 

${\int }_0^{10}(-8t+80)dt$  

Är du med på varför jag ställt upp denna integral? Det är viktigt. Annars rekommenderar jag att du tar ett titt på kapitlet om integraler. 

Okej, när ja räknar ut så blir det 400. Alltså är svaret på fråga 1. 400

Denniiis skrev :

Mathkhin skrev :

Hmm..

Det har blivit lite fel i din beräkning. Det gäller ju att:

$$\begin{gathered} k=\frac{∆N}{∆t}=\frac{0-80}{10-0}=-8 \\ m=80 \\ Alltså är: \\ N\text{'}\left(t\right)=-8t+80 \end{gathered}$$

Den är ekvationen motsvarar den röda linjen i figuren. Du vill nu beräkna arean under linjen - vilket är samma sak som att beräkna värdet på av intgralen: 

${\int }_0^{10}(-8t+80)dt$  

Är du med på varför jag ställt upp denna integral? Det är viktigt. Annars rekommenderar jag att du tar ett titt på kapitlet om integraler. 

Okej, när ja räknar ut så blir det 400. Alltså är svaret på fråga 1. 400

Det är rätt. Men svaret på frågan är ju: Nej, lokalen rymmer 400 personer och inte 800 personer. Hur kan du nu lösa uppgift b?

Mathkhin skrev :

Denniiis skrev :

Visa föregående citat

Mathkhin skrev :

Hmm..

Det har blivit lite fel i din beräkning. Det gäller ju att:

$$\begin{gathered} k=\frac{∆N}{∆t}=\frac{0-80}{10-0}=-8 \\ m=80 \\ Alltså är: \\ N\text{'}\left(t\right)=-8t+80 \end{gathered}$$

Den är ekvationen motsvarar den röda linjen i figuren. Du vill nu beräkna arean under linjen - vilket är samma sak som att beräkna värdet på av intgralen: 

${\int }_0^{10}(-8t+80)dt$  

Är du med på varför jag ställt upp denna integral? Det är viktigt. Annars rekommenderar jag att du tar ett titt på kapitlet om integraler. 

Okej, när ja räknar ut så blir det 400. Alltså är svaret på fråga 1. 400

Det är rätt. Men svaret på frågan är ju: Nej, lokalen 400 personer och inte 800 personer. Hur kan du nu lösa uppgift b?

Ja precis! Hmm inte helt säker 

Vet du hur man beräknar primitiva funktioner? 

Mathkhin skrev :

Vet du hur man beräknar primitiva funktioner? 

ja, det vet jag 

Du vet att vid t=0 är N(t)=0 - eftersom antalet person i salongen ju från början är 0 st. Då vet du att följande begyndelsevillkor gäller: (0,0). 

Beräkna nu den primitiva funktion för N'(t) så får ju N(t).

 0

$$\begin{gathered} N\text{'}\left(t\right) =-8t + 80 \\ N\left(t\right) = \frac{-8t^2}{2} + 80t + C \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\int }_0^{10}(-8t + 80)dt = {{\left[\begin{array}{c}-4t^{2 }+ 80t\end{array}\right]}_0}^{10} = \\ (-4 \times {10}^2 + 80 \times 10) - (-4 \times 0^2 + 80 \times 0) = 400 \end{gathered}$$

Bra. 

N(t) = $\frac{-8t^2}{2}$ + 80t + C

vad ska C vara om du vet att N(t) går genom origo, dvs. (0,0)?

Mathkhin skrev :

Bra. 

N(t) = $\frac{-8t^2}{2}$ + 80t + C

vad ska C vara om du vet att N(t) går genom origo, dvs. (0,0)?

C = 0?

Korrekt. Rimlighetskontollera gärna din funktion istället för att vara osäker. Du vet ju hur många personer det är efter 10 min - 400 st. Får du 400 personer då t=10? Då måste det ju stämma, ellerhur? :)

Mathkhin skrev :

Korrekt. Rimlighetskontollera gärna din funktion istället för att vara osäker. Du vet ju hur många personer det är efter 10 min - 400 st. Får du 400 personer då t=10? Då måste det ju stämma, ellerhur? :)

Ja, det stämmer ju så klart! så fråga 1. är svaret Nej, endast 400 personer rymmer i lokalen

och fråga 2. 

 $$\begin{gathered} N\left(t\right) = \frac{-8t^2}{2} + 80t + C \\ N\left(0\right) = \frac{-8 \times 0^2}{2} + 80 \times 0 + C \\ C = 0 \end{gathered}$$ 

Denniiis skrev :

Mathkhin skrev :

Korrekt. Rimlighetskontollera gärna din funktion istället för att vara osäker. Du vet ju hur många personer det är efter 10 min - 400 st. Får du 400 personer då t=10? Då måste det ju stämma, ellerhur? :)

Ja, det stämmer ju så klart! så fråga 1. är svaret Nej, endast 400 personer rymmer i lokalen

och fråga 2. 

 $$\begin{gathered} N\left(t\right) = \frac{-8t^2}{2} + 80t + C \\ N\left(0\right) = \frac{-8 \times 0^2}{2} + 80 \times 0 + C \\ C = 0 \end{gathered}$$ 

Vad står det på fråga b? 

Mathkhin skrev :

Denniiis skrev :

Visa föregående citat

Mathkhin skrev :

Korrekt. Rimlighetskontollera gärna din funktion istället för att vara osäker. Du vet ju hur många personer det är efter 10 min - 400 st. Får du 400 personer då t=10? Då måste det ju stämma, ellerhur? :)

Ja, det stämmer ju så klart! så fråga 1. är svaret Nej, endast 400 personer rymmer i lokalen

och fråga 2. 

 $$\begin{gathered} N\left(t\right) = \frac{-8t^2}{2} + 80t + C \\ N\left(0\right) = \frac{-8 \times 0^2}{2} + 80 \times 0 + C \\ C = 0 \end{gathered}$$ 

Vad står det på fråga b? 

Bestäm funktionen N(t)? vilket var N(t) = $\frac{-8^2}{2}+ 80t + C$

Du fick ju att C=0

Alltså är N(t) = $\frac{-8t^2}{2}$+ 80t =$-4t^2+80t$

Det var ju 400 personer i biosalongen efter 10 min. Det fick ju fram när vi beräknade integralen ${\int }_0^{10}(-8t+80)dt$. 

Det jag menade med att rimlighetskontrollera din funktion var att kontrollera om vi verkligen får 400 personer efter 10 min via funktionen N(t). 

$N\left(t\right)=-4t^2+80t$

$t=10 \Rightarrow N\left(10\right)=-4*{10}^2+80*10=400$

Alltså måste $N\left(t\right)=-4t^2+80t$  (du ska alltså inte ta med konstanten C ä funktionsuttrycket).

Mathkhin skrev :

Du fick ju att C=0

Alltså är N(t) = $\frac{-8t^2}{2}$+ 80t =$-4t^2+80t$

Det var ju 400 personer i biosalongen efter 10 min. Det fick ju fram när vi beräknade integralen ${\int }_0^{10}(-8t+80)dt$. 

Det jag menade med att rimlighetskontrollera din funktion var att kontrollera om vi verkligen får 400 personer efter 10 min via funktionen N(t). 

$N\left(t\right)=-4t^2+80t$

$t=10 \Rightarrow N\left(10\right)=-4*{10}^2+80*10=400$

Alltså måste $N\left(t\right)=-4t^2+80t$  (du ska alltså inte ta med konstanten C ä funktionsuttrycket).

Det förstod jag. Okej, tack så mycket för all hjälp. Uppskattas verkligen!