Problem lösning. Summan av hundra på varandra följande heltal

Nej om n = 200 så får du summan av de 200 första heltalen.

Dvs 1+2+3+4+5+...+199+200 = 200(200+1)/2 = 200*201/2 = 20100

Tack, men jag kommer inte på hur jag ska lösa den.

Hej,

Formeln ger dig summan

    $1+2+3+\cdots+n$

Ditt problem är att du inte vet var summan börjar någonstans; så låt den börja vid heltalet $a$ så att du vill beräkna summan av $a$ och alla $499$ stycken efterföljande heltal.

    $a+(a+1)+(a+2)+\cdots+(a+499)$

Summan kan skrivas som

    $\underbrace{(a+a+a+\cdots+a)}_{500 \text{ stycken termer}}+\left(1+2+3+\cdots+499\right).$

1. Du vet värdet som denna summa antar.
2. Formeln låter dig beräkna summan $1+2+\cdots+499$.
3. Det ger dig en ekvation som låter dig bestämma heltalet $a$.

Formeln kan tolkas som

(det första talet + det sista talet) x totala antalet tal/2.

Vi vet att det totala antalet tal är 500.

Kalla det första talet m. Det sista talet blir då m + 499.

Hoppas du kommer vidare nu.

PATENTERAMERA skrev:

Formeln kan tolkas som

(det första talet + det sista talet) x totala antalet tal/2.

Vi vet att det totala antalet tal är 500.

Kalla det första talet m. Det sista talet blir då m + 499.

Hoppas du kommer vidare nu.

Hur kopplar du detta till den formel som är given i uppgiftstexten?

Jag får en aekvation som ger 500a + 500 = 153250

Om jag har förtsåttt det rätt blir a då det första talet. Men jag får a till 305,5 vilket inte är ett heltal. I facit står det att första talet är 57.

Bra point, Albiki. Det krävs ju lite mer för att göra den slutsats som jag gör. Tänkte att detta var något som var välkänt, men det kanske man inte skall göra.

Men vi kan ju visa att det stämmer med din metod.

Antalet tal = N. Första tal a. Steg k.

a + (a + 1k) + (a + 2k) + ...+ (a + (N-1)k) = Na + k$\sum _{n=1}^{N-1}$n = Na + kN(N-1)/2 = (a+(a+k(N-1)))N/2.

fylldmedfrågor skrev:

Jag får en aekvation som ger 500a + 500 = 153250

Om jag har förtsåttt det rätt blir a då det första talet. Men jag får a till 305,5 vilket inte är ett heltal. I facit står det att första talet är 57.

Din ekvation stämmer inte.

Den första termen är 500a, det stämmer, men den andra termen är inte lika med 500.

Den andra termen är lika med summan av de 499 första positiva heltalen.

Du kan använda formeln som är given i uppgiften för att beräkna denna summa. 

Tack så mycket!

Hej,

Ekvationen som ska lösas är

    $\displaystyle 500a+\frac{499 \cdot 500}{2} = 153250.$

Hej,

Ok så jag har 500a det är jag med på och som Yngve sa kan jag räkna ut resterande summa medhjälp av uttrycket i uppgiften. 

500 + resterande summa

resterande summa:

Jag kommer addera heltal från 1 till 500. 

Därmed kommer jag sätta 500 som n i uttrycket och då får jag 

$500(\frac{500+1)}{2}$

Alltså 

$\frac{500·501}{2}$

Eftersom 500 är väl det sista talet inte 499.

fylldmedfrågor skrev:

...
resterande summa:

Jag kommer addera heltal från 1 till 500. 

Därmed kommer jag sätta 500 som n i uttrycket och då får jag 

$500(\frac{500+1)}{2}$

Alltså 

$\frac{500·501}{2}$

Eftersom 500 är väl det sista talet inte 499.

Nej det stämmer inte. 

Resterande summa är 1+2+3+...+499, dvs summan av de 499 första heltalen.

Läs Albikis svar igen. Där står en förklaring till hur du kommer ftam till det.

Är det nägon del av det svaret som du vill få förklarad mer i detalj?