Problem från SMT

Börja med att kvadrera båda led.

Har gjort det. Men är nu fast.

Vad fick du när du kvadrerat? :)

$a+2\sqrt{a-1} +a-2\sqrt{a-1^{}} =2$

Arup skrev:

$a+2\sqrt{a-1} +a-2\sqrt{a-1^{}} =2$

Nu har du varken kvadrerat höger eller vänster led.

$$\begin{gathered} {(\left(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}\right)+\left(\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}\right))}^2= \\ ={\left(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}\right)}^2+2\left(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}\right)\left(\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}\right)+{\left(\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}\right)}^2 \end{gathered}$$

2² = 4. Kommer du vidare?

Förresten, vad betyder SMT?

Skulle jag använda kvadreringsreglerna ?

SMT betyder Skolornas Matematik tävling

blir det då a+2$\sqrt{a-1 }$+a-2$\sqrt{a-1}$=4 ?

Ta inte så stora steg! Redovisa varje förenkling du gör.

Enligt Wikipedia är SMT för gymnasieelever, så det är rimligt att tro att de som är med i tävlingen behärskar åtminstone Ma3.

Skulle jag använda kvadreringsreglerna ?

Ja, självklart skall du använda kvadreringsregeln när du kvadrerar en summa av två termer.

kan du visa ?

Det är bättre att du visar steg för steg hur du har gjort, så kan vi hjälpa dig att hitta var dt blir fel *om det blir fel).

Jag verkar få fel svar

Det fattas parenteser på tredje raden, och därefter blir det knas.

Jag förstår inte. Kan du visa ?

Du har skrivit $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}·a-2\sqrt{a-1}}$ men det skall vara $\sqrt{\left(a+2\sqrt{a-1}\right)·\left(a-2\sqrt{a-1}\right)}$.

Ok, vad blir det sen. Jag är förvirrad

Sedan kan du använda konjugatregeln på "det stora rotuttrycket" så att du får

$2a+2\sqrt{a^2-2{\left(\sqrt{a-1}\right)}^2} =\hspace{0.17em}4$

Jag har prövat det, men får ändå fel 

Vad får du när du förenklar vidare?

Smaragdalena jag får fortfarande fel svar

Du har kvar 2a på steget i mitten. 

$a+2\sqrt{a-1}+a-2\sqrt{a-1} =a+a=2a$

Märklig 'ekvation', den är mera en identitet som endast är giltig för 1≤a≤2.

SMT har alltid de met ointressanta uppgifter. Förstår ej deras beundran av rotuttryck.

det är korrekt trinity hur fick dufram det ?

Arup skrev:

det är korrekt trinity hur fick dufram det ?

Är du säker på att detta är SMT? Deras uppgifter bruka vara "pratigare" och svårare/tråkigare.

Om vi låter det första rotuttrycket vara R1 och det andra R2 har vi

R1+R2 = 2

Redan här ser vi att a≥1 för att rotuttrycken skall vara väldefinierade.

Kvadrera

Du får då

2a+2 R1 R2 = 4

a + R1 R2 = 2

R1 R = 2-a

Eftersom VL är positivt måste HL vara det, d.v.s. a≤2, alltså har vi att 1≤a≤2.

Kvadrera igen och du får 0=0 vilket är underligt. 

Inte en speciellt bra lösning och jag tror det finns bättre. Jag fann inte denna uppgiften bland SMT gamla prov.

Ok, då var det nog fel

Arup skrev:

Ok, då var det nog fel

Jag trodde det var Matematikprovet men jag finner ej heller den där.

Det hade varit intressant att se föreslagen lösning.

Ensligt Kedtråden stod det att utnyttja kvadrerings och konjugation regeln

Arup skrev:

Ensligt Kedtråden stod det att utnyttja kvadrerings och konjugation regeln

OK. Har löst den nu. Skall skriva ner lösningen

Tack ☺️

Arup skrev:

Tack ☺️

https://mathb.in/77638

Titta på Trinity2 s sista lösning. I andra raden har han använt kvadreringsregeln för att få jämna kvadrater under rotmärkena. Konjugatregeln kommer däremot ej till användning här. Hans geometriska synsätt är bäst om vi söker komplexa lösningar, men här räcker det med reella och då kan man istället tolka absolutbeloppen och dela  in i de olika möjliga fallen, om man tycker det är bekvämare. Vill man nödvändigtvis använda konjugatregeln kan man låta A vara det första rotmärket i den ursprungliga ekv. och B det andra. Multiplicera båda leden med (A-B). Detta underlättar föga.

I #20 försökte jag använda kvadreringsreglerna direkt, men det blev dessvärre bara fel