Problem att förstå stegen i denna ekvation

Jag jobbar igenom matte 4 kursen och har hittat denna problem. Jag ska visa att för alla x där båda leden är definierade gäller följande samband:

Jag förstår allt upp till övergången från steg 3 till 4, där 1 - cos²x blir till 1 + cosx i täljaren, och man får bort (1 - cosx) i nämnaren. Hur funkar detta?

Dividerar man täljaren och nämnaren med (1 - cosx)? 

Alltså: 

$\frac{1 - {\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x (1 - \cos x)}= \frac{{\displaystyle \frac{1-{\cos }^{2}x}{(1-\cos x)}}}{{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x (1 - \cos x)}{(1 - \cos x)}}}=\frac{1+\cos x}{{\cos }^{2}x}$

Funkar det så här? Är väldigt osäker på vad som händer då i täljaren. Varför blir 1-cos²x / 1-cosx till 1+cosx? Känns helt fel. Känns som det borde bli bara cosx kvar i täljaren. Är jag helt ute och cyklar här eller?