Linjens projektion i planet

Tänk dig att du har en vektor som skär ett plan. 
den har 2 komponenter, en del som ligger i planet och en del som är parallell med normalen.
Börja med att projicera en vektor mot normalen och sen med vektorsumma ta reda på hur mycket som kvarstår i planet.

Analys skrev:

Tänk dig att du har en vektor som skär ett plan. 
den har 2 komponenter, en del som ligger i planet och en del som är parallell med normalen.
Börja med att projicera en vektor mot normalen och sen med vektorsumma ta reda på hur mycket som kvarstår i planet.

Vektorn du syftar på, är detta den blå linjen i bilden? För i såna fall tänker jag att den vektorn/linjen skär ju endast det gröna planet i en punkt, som i detta fall råkar vara origo. Den blå linjen ser dessutom ut att "vara" normalen till planet. Är det detta som menas med "en del som är parallell med normalen"?

Kanske lite slarvigt språk, menar riktningsvektorn för den blå linjen, r.

projicera r mot normalen till det gröna planet,n.

r= n + den delen av r som ligger i planet, rs projektion på planet.

verkar detta rimligt?

Skall vara den normaliserade normalen, L=1

Analys skrev:

 

Fås denna riktningsvektor genom att beräkna ekvationssystemet (skärningen) av planen $\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\ -x+y+z=0\end{array}\right.$?

I såna fall får jag riktningsvektor $\overrightarrow{v}=(-1,1,0)$ men känns som att jag är rätt mycket ute och cyklar.

Som jag förstod det ville du börja med att du hade riktningskoeff till den blå linje och projicera den mot planet x+y+3z=0

stämmer det?

Eller vill du börja med att ta fram riktnings koeff för den blå linjen?

Analys skrev:

Eller vill du börja med att ta fram riktnings koeff för den blå linjen?

Jag vet knappt själv i vilken ände jag ska börja, men jag antar att jag vill börja med att ta fram riktningsvektorn för den blå linjen, som alltså utgör skärningen mellan planen. Med hjälp av denna kanske jag kan gå vidare och projicera den mot det gröna planet på något sätt.

Ok, det blir bra.

Vi börjar med skärningen mellan planen.

x+y−z=0x+y-z=0 och −x+y+z=0

ansätt x=t och se vad du får fram, dvs linjen på parameterform.

Analys skrev:

x+y−z=0x+y-z=0 och −x+y+z=0

ansätt x=t och se vad du får fram, dvs linjen på parameterform.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y-z=0 \\ -x+y+z=0\end{array}\right. \\ ~ \left\{\begin{array}{l}x+y-z=0 \\ +2y =0\end{array}\right. \\ \mathrm{Sätt} \mathrm{z}=\mathrm{t} : \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-\mathrm{y}+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=0\\ \mathrm{z}=\mathrm{t}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Nu får jag att linjen går igenom punkten $P=(-1,0,1)$ och riktningsvektorn $\overrightarrow{v}=(1,0,1)$

Precis, nu skall vi spegla u i v, eller hur?

Analys skrev:

Precis, nu skall vi spegla u i v, eller hur?

Men först, vektorn (C) verkar stämma men inte punkten (B) eller?

Läste inte ditt svar ordentligt, det var inte riktigt rätt:

X=-y+t och y= 0 ger x=t

så linjen ges av (0,0,0) + t(1,0,1)

ok?

Analys skrev:

Läste inte ditt svar ordentligt, det var inte riktigt rätt:

X=-y+t och y= 0 ger x=t

så linjen ges av (0,0,0) + t(1,0,1)

 

ok?

Så är det förstås, dum miss av mig. Har alltså (om vi ansätter z=t):

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=-y+t\\ y=0\\ z=t\end{array}\right. \\ ~ \left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=t\end{array} \right. \end{gathered}$$

Vi har alltså i parameterform  $\overrightarrow{v}=(0,0,0)+\mathrm{t}(1,0,1)$, och för att spegla vektorn $\overrightarrow{u}=(x,y,z)$ i $\overrightarrow{v}=(1,0,1)$ antar jag att jag ska gå från $\overrightarrow{u}$ vinkelrätt mot den blå linjen, det vill säga skärningen mellan planen.

Är det nu jag bestämmer $\overrightarrow{u}$ genom projektionsformeln $P\left(\overrightarrow{u}\right)=\frac{\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}}{{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2}·\overrightarrow{v}$ ? Som jag sedan ska projicera ytterligare en gång mot planet $x+y+3z=0$?

Kolla här, projektionsformeln är bra, den skall du starta med, men sen lite till för spegling:

Tänk,

projection:

up = u + p

sprgling:

us = u + 2p

Analys skrev:

Tänk,

projection:

up = u + p

sprgling:

us = u + 2p

Jag tror att jag förstår, men följande känns skevt, ska jag överhuvudtaget ha med nollan i koordinaterna för $\overrightarrow{u}$? y=0 som bekant.

Jag är inte helt säker på att jag förstår. Linjen vi skall spegla ligger i y= 0 men vektorn u kan ju ha vilka koordinater som helst.

Jag skulle räkna på enligt skisen ovan,

Jobba dig till andra sidan, dvs vänster i skissen nu. Du skall hitta positionen uttryckt i x,y,z.

Analys skrev:

Jag skulle räkna på enligt skisen ovan,

Jobba dig till andra sidan, dvs vänster i skissen nu. Du skall hitta positionen uttryckt i x,y,z.

Förstår bara inte hur jag går från $\overrightarrow{u}$ till $\overrightarrow{v}$ och vidare till $\overrightarrow{u_s}$ när jag ej vet koordinaterna för $\overrightarrow{u}$. Jag trodde att det var de koordinaterna jag skulle erhålla efter beräkning m.h.a. projektionsformeln, men den gav bara $\frac{1}{2}(x+z,0,x+z)$ som inte alls känns vettigt.

Nej, när där är färdig kommer du att ha ett uttryck i x,y,z. Vi vet ju inte u.

Nej, när du är färdig …. Skulle det vara.

vi måste så småningom skriva om vårt uttryck på matrisform med EN matris som hanterar hela transformationen på formen:

Au = f, u = (x,y,z)

just nu har vi en del av informationen för spegling i skärningslinjen. Efter det skall vi söka info om hur vi projicerar i planet. Tillsammans kommer detta bygga upp A.