Prioritering division och multiplikation

Det spelar ingen roll i vilken ordning du utför multiplikation och division. Division är egentligen samma sak som multiplikation.

Att dividera på 2 är samma sak som att multiplicera med 1/2.

Om vi kikar på PEMDAS så har vi förljande prioriteringar.:
P: Paranteser
E: Exponenter
MD: Multiplikation/Division, (det spelar ingen roll vilken ordning du utför detta).
AS: Addition/subtraktion, (det spelar ingen roll vilken ordning du utför detta):

Kikar vi nu på ditt problem, jag antar att det ska stå $\dfrac{5}{7}(2+3)$? Eller skall det stå $\dfrac{5}{7(2+3)}$?
Jag visar dig iaf hur $\dfrac{5}{7(2+3)}$ kan beräknas. Vi kollar, har vi en parantes? Ja, så då börjar vi där. Adderar vi ihop det som finns inuti så har vi nu istället: $\dfrac{5}{7(5)}$, nu har vi bara multiplikation och division, spelar det någon roll i vilken ordning vi kör? Nej, låt mig visa dig. Låt oss säga att vi multiplicerar ut nämnaren, då får vi $\dfrac{5}{35}$, förkorta med den gemensamma faktorn 5 och så får vi $\dfrac{1}{5}$. Vad händer om vi dividerar med 5 direkt istället? Ja, då stryks ju femman i täljaren och nämnaren så att kvar har vi ännu en gång $\dfrac{1}{5}$.

Låt oss säga att vi har ett tal x. Låt oss dividera talet x med c, då har vi talet $\dfrac{x}{c}$, detta kan vi skriva om på följande vis, $\dfrac{x}{c}=\dfrac{1}{c}\cdot x$, och vi är nog eniga att det inte spelar någon roll i vilken ordning vi multiplicera. $5\cdot 2 \cdot 1$ är ju precis samma sak som $2\cdot 1 \cdot 5$. 

Jag tycker det inte stämmer att säga att det inte spelar någon roll i vilken ordning man utför addition och subtraktion (utom när det är enbart additioner).

T.ex. 2 - 3 + 5. Man kan inte göra 3 + 5 först (som blir 8) och sedan 2 - 8.

Samma med multiplikation och division: 6 / 3 * 2 måste utföras från vänster till höger.

Ett annat problem är att det är oklart vad man menar om man skriver 5 / 7(2+3), som Dracaena visar. Man kan stoppa in mellanslag för att göra det troligare att läsaren uppfattar vad man menar, men enbart mellanslagen kan inte göra det entydigt.

Nu använder jag /, men tecknet ÷ fungerar exakt likadant.

Jag tycker svaret på din fråga är att 5/7 räknas ut först och sedan multipliceras med 5. Om den som skrev uttrycket menade något annat får den lära sig att skriva tydligare, t.ex. 5/(7(2+3)), eller med det långa horisontella bråkstrecket.

Enligt PEMDAS ska operationer utföras från vänster till höger om både multiplikation och division eller addition och subtraktion förekommer.

Exempel: 4/2*5=10

Tvetydighet råder trots detta eftersom det inte ingår explicit i minnesregeln utan måste läras ut parallellt. PEMDAS bör således undvikas då det kan skapa problem vid senare studier då du bara minns bokstavskombinationen men inte vänster till höger-regeln. 

Läses denna uppsats diskuteras i avsnitt 5 en hel del kring minnesregler inom aritmetik:

https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1423234/FULLTEXT01.pdf

Där refereras även till en studie i USA där de bland annat noterade hur PEMDAS följdes slaviskt och ordagrant av en tredjedel ur en grupp (n = 381) lärarstudenter på ett matematikprov. Däremot följdes inte vänster till höger-regeln.

Detta är ett exempel på hur en minnesregel inte hjälper dig förstå varför prioriteringsreglerna är som de är. 

Tack! Ni satte fingret på det jag tyckte var  otydligt och visade att även ni kunde tolka det otydligt. Mao om det dyker upp ett tal som detta så får man skriva omoch visa hur man tolkar det. Tack igen. 

Laguna skrev:

Jag tycker det inte stämmer att säga att det inte spelar någon roll i vilken ordning man utför addition och subtraktion (utom när det är enbart additioner).

T.ex. 2 - 3 + 5. Man kan inte göra 3 + 5 först (som blir 8) och sedan 2 - 8.

Det var faktiskt ingenting jag tänkte på. Jag tänker mig egentligen att det står $+2-3+5$ och grupperar man termerna (spelar ingen roll hur) så blir det inte fel, exempelvis $(2+5)-3$ eller $(2-3)+5$ osv. Nu menar jag självklart att gruppera alla positiva för sig och alla negativa för sig. Jag missade helt enkelt aspekten som du tar upp att man skulle kunna göra misstaget att tro att $2-3+5$ är ekvivalent med $2-8$ vilket det självklart inte är. 

Jag glömde faktiskt att nämna att man skall utföra operationerna från vänster till höger, det har blivit så naturligt att räkna algebraiskt och gruppera termer lite hur man vill så länge man följer reglerna självklart att man inte tänker på "reglerna" utan man vet bara vad man får och inte får göra.

Intressant uppsats du hänvisar till Ebola. Det är inte alltid lätt att relatera till elevens problem när det kommer till prioritering av aritmetiska operationer eftersom det ibland känns självklart för någon som redan är van och kan det. Exempelvis som eleven som tolkade $(1+2)^2$ som $1+2^2$ som tas upp i uppsatsen. Detta påmminer lite om det Laguna nämnde ovan, det känns nog lite självklart för oss som redan kan detta men man kan också förstå varför denna misstolkning kan ske pga PEMDAS. 

Uppgifter som 5/7(2+3) eller liknande så tycker jag inte någon regel hjälper. Problemet här att ju inte vilken ordning allt ska göras utan att man inte vet vad man egentligen menar. Är det (5/7)*5? är det 5/35? osv. Vi har nog alla sett de "virala" matte problemen där man har liknande uppgifter där det är otydligt vad man egentligen avser. Jag kan då tycka att problemet är nonsens tills man tydligt presenterat problemet korrekt. Det skall inte finnas någon tvetydighet med vad man avser om något skall gå att beräkna, annars är det bara en ren gisning.

Då kvarstår frågan, räcker det med att nämna PEMDAS + vänster till höger - regeln eller borde vi ge någon annan förklaring? 

@Cinakemi, känner du att du hängt med i diskussionen eller är du tveksam över något? Om så är fallet, säg till så kanske vi kan omformulera det på ett sätt så du förstår. :)

Kanske en lite enklare förklaring? Eller för enkel?