Primtal som kan skrivas som 6n+1 eller 6n-1
Visa att alla primtal kan skrivas som 6n+1 eller 6n-1.
Har ni något tips på hur man ska bevisföra detta?
Detta gäller bara primtal > 3
Alla tal kan skrivas på någon av formerna:
6n+0 ger inga primtal
6n+1 ger flera primtal
6n+2 ger bara primtalet 2
6n+3 ger bara primtalet 3
6n+4 ger inga primtal
6n+5 ger flera primtal
Så de enda som ger primtal större än 3 är 6n+1 och 6n+5
Observera att 6n+5 är kongurent med 6n-1 (mod 6)
Alltså kan alla primtal (utom 2 och 3) skrivas på formen 6n+1 eller 6n-1
joculator skrev:Alla tal kan skrivas på någon av formerna:
6n+0 ger inga primtal
6n+1 ger flera primtal
6n+2 ger bara primtalet 2
6n+3 ger bara primtalet 3
6n+4 ger inga primtal
6n+5 ger flera primtalSå de enda som ger primtal större än 3 är 6n+1 och 6n+5
Observera att 6n+5 är kongurent med 6n-1 (mod 6)Alltså kan alla primtal (utom 2 och 3) kan skrivas på forman 6n+1 eller 6n-1
Ja, det är sant. Men kan man inte bevisföra med en mer matematisk metod t.ex. omvänd bevisföring eller induktion?
Alla tal kan skrivas t=6n+r
Då 6 är delbart med 2 så kommer t vara delbart med 2 om r är delbart med 2 (0,2,4). Dessa tal är inte primtal.
Bevis: om r=2k så är 6n+r=5n+2k=2(3n+k) vilket är delbart med 2
Då 6 är delbart med 3 så kommer t vara delbart med 3 om r är delbart med 3 (0,3). Dessa tal är inte primtal.
Bevis: om r=3k så är 6n+r=5n+3k=3(3n+k) vilket är delbart med 3
Kvar finns bara tal som har r=1 eller r=5. Alla primtal måste finnas här.
Ergo t=6n+1 eller t=6n+5 (som såklart kan skrivas som t=6n-1)
Nej, jag vet inte, det finns säkert något bättre sätt att skriva det på.
Hmm jag hittade:
"By the division algorithm, any integer can be written in one of the forms
6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4, 6k + 5. Of these, 6k, 6k + 2 and 6k + 4
are even, and 6k +3 is divisible by 3. Thus none of these can represent
a prime > 3. Thus p must be of the form 6k + 1 or 6k + 5."
Det är mer kompakt, men samma bevis.
joculator skrev:Hmm jag hittade:
"By the division algorithm, any integer can be written in one of the forms
6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4, 6k + 5. Of these, 6k, 6k + 2 and 6k + 4
are even, and 6k +3 is divisible by 3. Thus none of these can represent
a prime > 3. Thus p must be of the form 6k + 1 or 6k + 5."Det är mer kompakt, men samma bevis.
Tack så jättemycket! Jag har också hittat en annan bevisföring som faktiskt låter intressant:
Vi antar att p är ett primtal större än 3 och undersöker delbarheten av p hos p+1 och p-1.
Eftersom p är ett primtal stärre än 3, p-1 och p+1 måste vara jämna tal, d.v.s. delbara med två.
Å andra sidan måste ett heltal bland tre på varandra följande heltal vara delbart med 3. Därför är ett av talen p-1 eller p+1 delbart med 3.( Eftersom p är ett primtal större än 3 då får p inte vara delbart med 3).
Därav är ett av talen p-1 eller p+1 delbart med både 2 och 3, d.v.s. delbart med 6, alltså antingen p-1=6n eller p+1=6n där n är ett naturligt tal.
** Om p-1 är delbart med 6, då:
** Om p+1 är delbart med 6, då;
Slutsats: Eftersom p är ett godtyckligt primtal större än 3, vilket primtal som helst större än 3 kan skrivas som:
Tråd rensad från inlägg som inte är hör till tråden. Om ett inlägg blir fel, skriv gärna att inlägget kan raderas, och rapportera inlägget, så tar vi bort det! /Smutstvätt, moderator
