Primtal som är kongruenta med 5 eller 1 modulo 6
Uppg:
Förklara varför primtal som är större än eller lika med 5 alltid är kongruenta med 1 eller 5 modulo 6.
Mitt försök:
Alla tal som är jämna förkastas. Kvar är alla udda tal.
ett primtal: p
Alla heltal kan uttryckas följande: (kongruens med 6)
6n
6n + 1
6n + 2
6n + 3
6n + 4
6n + 5
Där alla jämna uttryck väljs bort:
6n + 1
6n + 3
6n + 5
Och alla tal delbara med 3, så kvar:
6n + 1
6n + 5
För alla primtal .
Men om t.ex n = 5 är p = 6*5 + 5 = 30 + 5 = 35 som inte är ett primtal.
Vet inte riktigt hur man ska gå tillväga med denna uppg.
Ser ut som att du löst den. Att du hittar icke-primtal i samma kongruensklass gör inget, de får finnas där tillsammans med primtalen :)
Men det känns ju inte rätt, hur skulle ni löst uppgiften?
Dessutom ska alla udda tal delbara med 5 också bort, alltså blir det kvar:
6n + 1
Men jag vet inte hur jag ska förstå lösningen till uppgiften.
Om ett tal ger resten 0 när det divideras med 6 så är talet delbart med 6. Det kan alltså inte vara ett primtal.
Om ett tal ger resten 2 när det divideras med 6 så är talet delbart med 2. Det kan alltså inte vara ett primtal.
Om ett tal ger resten 3 när det divideras med 6 så är talet delbart med 3. Det kan alltså inte vara ett primtal.
Om ett tal ger resten 4 när det divideras med 6 så är talet delbart med 2. Det kan alltså inte vara ett primtal.
Om ett tal ger resten 1 när det divideras med 6 så kan det vara ett primtal, men det är inte säkert.
Om ett tal ger resten 5 när det divideras med 6 så kan det vara ett primtal, men det är inte säkert.
Om ett tal är ett primtal, kan det inte ge resten 0, 2, 3 eller 4 när det divideras med 6. Det kan bara ge resten 1 eller 5.
Jag tror du missförstått uppgiften. Tal delbara med 5 måste inte tas bort (och 6n+5 är inte alltid delbart med 5, n=1 ger 11 t.ex).
Alla heltal tillhör någon av de sex kongruensklasserna. Du har visat att primtal inte kan tillhöra 6n, 6n+2, 6n+3, eller 6n+4. Då återstår två klasser, 6n+1 och 6n+5, som är de enda som potentiellt kan innehålla primtal. Vi kan bekräfta att de också gör det, genom att sätta t.ex. n=1 vilket visar att 7 är i ena gruppen och 11 i andra. Det finns alltså primtal i båda grupper, och tillsammans måste de innehålla alla primtal (men också en massa icke-primtal).
tack för hjälpen!
