Primtal delbarhetsregler

Hej! Jag såg en tråd om delbarhets regler häromdan och vill gärna diskutera delbarhetsregler. Är mest intresserad om någon kan några kreativa eller mindre kända delbarhetsregler.

Lista över delbarhetsregler:
2: Om den sista siffran är jämn
3: Om siffersumman är delbar med 3
5: Om sista siffran är 0 eller 5
7: Om vi har talet $n = \overline{abc}$ (eller hur många siffror som helst) så är $n$ delbar med 7 om och bara om $\overline{ab} - 2c$ är delbar med 7.
Vi kan skriva det som att $10a + r \equiv 0 \pmod 7 \iff a - 2r \equiv 0 \pmod 7$ , där $r$ är ett ensiffrigt heltal
11: Om den alternerande siffersumman är delbar med 11

Jag antar att de flesta kan dessa delbarhethetsregler. Jag själv fick reda om den för 7 för bara några veckor sedan och efter jag bevisade den var det också tydligt att det finns liknande regler för många andra primtal.
En liten sketch av ett bevis för delbarhetsregeln för 7 kan se ut såhär:
Anta att $10a + r \equiv 0 \pmod 7$ och $a-2r \equiv s \pmod 7$ för något heltal $s$
Vi får då att $10a \equiv -r \pmod 7$ och $10a-20r \equiv 10s \pmod 7$
Men $-20r \equiv r \pmod 7$
Därför är $10a-20r \equiv 10a+r \pmod 7$
Då får vi att $10s \equiv 0 \pmod 7$
Eftersom 10 inte är delbar med 7 måste $s$ vara det, vilket visar att
$10a+r \equiv \pmod 7 \Rightarrow a-2r \equiv 0 \pmod 7$
På ett liknande sätt kan man bevisa det andra hållet. Den viktiga delen i detta bevis är att $3\cdot 7 = 21$ är en mer än en multipel av 10. På liknande sätt kan man hitta regler för 13, 17, 19, etc. Eftersom $3 \cdot 13 = 39$ , vilket är $4 \cdot 10 - 1$ kan man bevisa en liknande regel för 13, fast istället adderar man 4 * sista siffran. Tyvärr blir denna delbarhetsregel ganska dålig när man kommer till stora nog primtal

Delbarhetsregler är mycket intressanta och med tanke på hur enkla de flesta bevisen för delbarhetsreglerna är, känner ni till några andra roliga delbarhetsregler för andra (prim)tal?

Det svåra med delbarhetsregler tycker jag är att hålla dem tillräckligt enkla för att de ska vara värda insatsen, jämfört med att bara prova att dividera och undersöka resten. Ju större tal, desto färre tal har det talet som faktor. En tredjedel av alla heltal är ju delbara med 3, så där har man enormt mycket att vinna på en delbarhetsregel, men rimligtvis har man bara en knapp sjuttondel så mycket att vinna på att ta fram en delbarhetsregel för 53. Med det inte sagt att det inte är intressant att försöka hitta sådana regler. :)

Smutstvätt skrev:
Det svåra med delbarhetsregler tycker jag är att hålla dem tillräckligt enkla för att de ska vara värda insatsen, jämfört med att bara prova att dividera och undersöka resten. Ju större tal, desto färre tal har det talet som faktor. En tredjedel av alla heltal är ju delbara med 3, så där har man enormt mycket att vinna på en delbarhetsregel, men rimligtvis har man bara en knapp sjuttondel så mycket att vinna på att ta fram en delbarhetsregel för 53. Med det inte sagt att det inte är intressant att försöka hitta sådana regler. :)

Ja definitivt. Kommer ihåg att jag såg en delbarhetsregel för 37, vilket jag tror var följande:
Om vi har talet $n = a_k 10^k + a_{k-1} 10^{k-1}... + a_1 10^1 + a_0$
Kommer $37 | n$ om $37| (a_k 10^2 + a_{k-1} 10^1 + a_{k-2}) + (a_{k-3}10^2+ a_{k-4}10^1 + a_{k-5})... + (a_{2} 10^2 a_1 10^1 a_0)$
Eller (förmodligen lite enklare skrivet)
Om $n = \overline{a_k a_{k-1} a_{k-2}... a_1 a_0}$
Kommer $37|n$ om $37| \overline{a_k a_{k-1} a_{k-2}} + \overline{a_{k-3}a_{k-4}a_{k-5}}... +\overline{a_2 a_1 a_0}$
Detta kommer från att $37$ delar $999$ . Definitivt ingen regel man kommer använda ofta när man faktiskt vill kolla delbarhet med 37. Mycket arbete att addera ihop en massa 3-siffriga tal (eller kolla deras rest)!

Samtidigt är det mycket intressant och kul att veta en massa slumpmässiga, intressanta, delbarhetsregler som denna!

En jag lärt mig och som jag gillar skarpt är att ett tal på formen

$\bar{a b c a b c}$

alltid är delbart med 1001 (som i sin tur består av faktorerna 7, 11 och 13). Detta eftersom

$\bar{a b c a b c} = \bar{a b c} (1000 + 1)$

Så för att primtalsfaktorisera 123123 är det egentligen bara att faktorisera 123, sen slänga på 7, 11 och 13 som faktorer.

Kan ju även expanderas med godtyckligt antal nollor efteråt:

$\bar{a b c a b c 000} = \bar{a b c} \times 7 \times 11 \times 13 \times 2^{3} \times 5^{3}$

Svara

Visa senaste svar