Primtal
Hej! Jag behöver hjälp med att förstå denna frågan:
Låt P och Q vara två på varandra följande udda primtal. Visa att summan p+q alltid kan skrivas som en produkt av minst tre primtalsfaktorer. De tre faktorerna behöver inte nödvändigtvis vara olika tal.
Hur löser man detta? Har inte gjort ett försök för jag fattar inte
Då är de två talen primtalstvillingar! Det är en exklusiv skara. Ingen vet ännu om det finns oändligt många eller om det finns ett "sista par".
https://sv.wikipedia.org/wiki/Primtalstvilling
Jag vet inte heller hur man bevisar att p+q alltid ska kunna skrivas som en produkt av minst tre primtalsfaktorer. Det första tvillingparet är [3, 5] med summan 8 som är lika med 2·2·2.
Se dock andra stycket i länken ovan, som hävdar att summan är en multipel av 12 (för alla tvillingpar fr o m [5, 7]). Då är ju saken klar, men något bevis för detta meddelas inte i artikeln.
Någon som vet?
Notera att p och q är två på varandra följande udda primtal(jag antar att detta betyder att de är primtalstvillingar och inte att de bara följer varandra i en tabell över primtal). Låt p vara det mindre talet. Då kan p skrivas 2k+1 och q 2k+3 där k är ett positivt heltal. p+q=4k+4=4(k+1)=2*2*(k+1) och k+1>1 eftersom p och q både är större än 3. Alltså är k+1 antingen ett primtal eller består i sin tur av (minst två) primtalsfaktorer. Oavsett så har vi visat att p+q är en produkt av minst tre primtalsfaktorer.
Edit(Överkurs för matte 1): Från och med talen 5,7 så är det ena talet kongruent med 1 modulo 3 och det andra talet kongruent med 2 modulo 3, då är deras summa delbar med tre och 2*2*3=12 måste dela p+q.
Jag blev förvillad av allt tal om primtal i uppgiften! Där utgår man från ett primtalstvillingpar och ber om bevis för att deras summa alltid kan delas upp i minst tre primtalsfaktorer.
Parvelns eleganta bevis ovan, visar att detta gäller för alla par av närliggande udda tal:
Om p och q är två udda tal, sådana att |p - q| = 2, så kan p + q alltid delas upp i minst tre primfaktorer. Och då gäller det ju även för primtalstvillingar...
A propos mitt första inlägg:
Jag hittade just ett enkelt bevis för att primtalstvillingar från och med (5,7) alltid kan skrivas på formen (6n-1, 6n+1). Det är säkert inspirerat av iakttagelsen att tvillingarnas summa är en multipel av 12 för de första 10 eller 20 tvillingparen (eller hur långt man orkade kolla). Kan detta gälla allmänt?
Vi vet att alla heltal för något n kan uttryckas på någon av formerna
6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4, 6n+5 [kongruens mod 6]
Vi skriver dem mer symmetriskt genom att dra bort 2 från var och en:
6n-2, 6n-1, 6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3
Tre av dessa är jämna tal (delbara med 2), nämlirgen [6n-2, 6n, 6n+2] .
Det enda primtal som något av dem kan uttrycka är därför 2.
Av de övriga tre är ett delbart med 3, nämligen 6n+3.
Det enda primtal som det kan uttrycka är därför 3.
Kvar till alla övriga primtal är formerna [6n-1, 6n+1]. Häpp!
Alla primtalstvillingar fr o m (5, 7) är därför av formen (6n-1, 6n+1)
och deras summa är då alltid en multipel av 12.
Instämmer med parveln: "Notera att p och q är två på varandra följande udda primtal(jag antar att detta betyder att de är primtalstvillingar och inte att de bara följer varandra i en tabell över primtal)."
Popexpressen: Vad står det egentligen i uppgiften, ordagrant?
"Två på varandra följande udda primtal" behöver ju inte vara primtalstvillingar, t ex 13, 17.
I uppgiften står det två på varandra följande udda primtal, alltså menar de i denna uppgift: 3,5 5,7 7,11 13,17
jag fattar inte vad ni menar
jag har redan löst uppgiften, men tack så hemskt mycket för hjälpen! Jag löste den dock på ett annat sätt
Popexpressen skrev:jag har redan löst uppgiften, men tack så hemskt mycket för hjälpen! Jag löste den dock på ett annat sätt
Berätta gärna hur du löste uppgiften - någon annan kan ha nytta av det!
Ett förslag på lösning nu när det inte handlar om primtalstvillingar:
p och q både udda så p+q delbart med två. Vi är klara om vi kan visa (p+q)/2 inte ett primtal eftersom det då består av minst två primtalsfaktorer. Notera(anta p<q, q<p görs helt analogt) p<(p+q)/2<q, men p och q var två på varandra följande primtal. Alltså kan det inte finnas något primtal mellan p och q så (p+q)/2 är sammansatt.
Jag tänkte såhär:
Jag antar att q är det följande udda primtalet alltså q motsvarar det större udda primtalet, P+q blir alltid jämnt och ett jämnt tal kan skrivas som 2*x och 2*x=p+q och x kan inte vara större än q så då måste x ligga mellan p och Q, och det finns inget primtal som är mellan p och Q så då måste det vara ett sammansatt tal så om x är ett sammansatt tal kan det delas upp i minst 2 primtalsfaktorer det betyder att p+q kan skrivas som= 2*a*b eller med mer primtalsfaktorer det var så jag löste uppgiften
Bra lösning.
En tydligare problemformulering hade varit:
Låt P och Q vara två på varandra följande tal i raden av udda primtal,
dvs i raden 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ...
Den givna formuleringen är jämförelsevis tvetydig:
Låt P och Q vara två på varandra följande udda primtal...
* i raden av udda heltal, dvs i raden 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ... ?
* i raden av primtal, dvs i raden 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ... ?
Själv gick jag rakt på primtalstvillingarna medan parveln är inne på tvetydigheten redan i sitt första inlägg. Nu har vi i alla fall behandlat båda möjigheterna.
Finns det flera?
Arktos skrev:Bra lösning.
En tydligare problemformulering hade varit:
Låt P och Q vara två på varandra följande tal i raden av udda primtal,
dvs i raden 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ...Den givna formuleringen är jämförelsevis tvetydig:
Låt P och Q vara två på varandra följande udda primtal...
* i raden av udda heltal, dvs i raden 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ... ?
* i raden av primtal, dvs i raden 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ... ?Själv gick jag rakt på primtalstvillingarna medan parveln är inne på tvetydigheten redan i sitt första inlägg. Nu har vi i alla fall behandlat båda möjigheterna.
Finns det flera?
1 är inte ett primtal.
Tack för kommentaren! Där hade jag slarvat.
Som gottgörelse återger jag här en definition på primtal:
"Ett primtal är ett naturligt tal, som är större än 1 och som inte har några andra positiva delare än 1 och talet självt."
