Primtal (Matematik/Matte 5)

17425170 är inte primtalet. Om det vore det har du tänkt rätt.
Men primtalet är ofantligt mycket större, ett tal med 17425170 siffror.

larsolof skrev :
17425170 är inte primtalet. Om det vore det har du tänkt rätt.
Men primtalet är ofantligt mycket större, ett tal med 17425170 siffror.

Jag vet det, men jag antog att jag kan använda samma metod för antalet siffror. Hur kan man veta att det inte stämmer? Hur ska jag göra då?

Det vet jag inte, men jag håller på läser om Mersenneprimtal här

https://sv.wikipedia.org/wiki/Mersenneprimtal

larsolof skrev :
Det vet jag inte, men jag håller på läser om Mersenneprimtal här
https://sv.wikipedia.org/wiki/Mersenneprimtal

Har läst igenom hela artikeln men förstår fortfarande inte facits lösning:

1. Det jag inte förstår är att man använder ju roten ur men varför kan man skriva A som a * 10^n? och varför måste a ligga i intervallet som facit anger?

2. Förstår heller ingenting av det sista stycket "vilket är ett tal var heltalsdel har hälften så många sifror om n är ett jämnt tal. 17 425 170/2" ??

1. Det är nästan samma sak som att säga att alla tal kan skrivas i grundpotensform, men man har valt att göra mantissan (d v s talet som man multiplicerar 10-potensen med) tiondelen så stor för att förenkla nästa steg i uträkningen.

2. Man skulle kunna skriva att $A = a \cdot 10^{2 m}$ där $0, 01 \leq a < 1$

Då får man att $\sqrt{A} = \sqrt{a \cdot 10^{2 m}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{10^{2 m}} = \sqrt{a} \cdot 10^{m}$ där $0, 1 \leq \sqrt{a} < 1$ och det syns ganska tydligt att talet har hälften så många siffror som vad A hade.

Ett tvåsiffrigt tal som 16 har en ensiffrig kvadratrot 4.
Ett fyrsiffrigt som 1600 har tvåsiffrig kvadratrot 40.
Ett sexsiffrigt som 160000 har tresiffrig kvadratrot som 400.
- - -
Ett 17425170-siffrigt har 8712585-siffrig kvadratrot.

Alla stora heltal kan skrivas som a * 10^n
t.ex
talet 12345678 = 0,12345678 * 10^8
talet 99999999 = 0,99999999 * 10^8

vill du öka 99999999 med 1 så öka INTE 0,99999999
utan öka 10^8 till 10^9
så här
talet 100000000 = 0,1 * 10^9

Det förklara varför a ska vara 0,1 $\leq$ a $<$ 1

Men resten, din punkt 2, har jag inte heller förstått ännu :(

larsolof skrev :
Alla stora heltal kan skrivas som a * 10^n
t.ex
talet 12345678 = 0,12345678 * 10^8
talet 99999999 = 0,99999999 * 10^8
vill du öka 99999999 med 1 så öka INTE 0,99999999
utan öka 10^8 till 10^9
så här
talet 100000000 = 0,1 * 10^9
Det förklara varför a ska vara 0,1 $\leq$ a $<$ 1

(...)

1. Men talet 99999999 kan väl även skrivas som 0,0099999999 * 10^10 (det vill säga även oändligt många nollor framför decimaltalet 99999999 så länge man kompenserar med rätt exponent till basen 10)? och då stämmer inte villkoret?

2. Vad är det som är så intressant med att ta roten ur a * 10^n och inte direkt på antalet siffror?

Det ska ju vara större än 0,1. Förstår du min förklaring till att kvadratroten har hälften så många siffror?

Henrik Eriksson skrev :
Det ska ju vara större än 0,1.

1. Enligt facit säger de det (fast de säger större än eller lika med), men VARFÖR måste det vara så??

2. Varför får a inte vara till exempel 1,2 eller 12 enligt facit (a < 1)??

Förstår du min förklaring till att kvadratroten har hälften så många siffror?

Nej, det är just det jag inte förstår. Jag förstår inte hur man kan dra slutsatsen utifrån facits beräkningar att det ska bli 17 425 170/2?

1. De hade lika gärna kunnat skriva $0, 1 < a \leq 1$ , men det behöver vara "lika med eller" på ena sidan för att man skall kunna uttrycka t ex talet 1 00000000000000000000000000000.

2. Det behövs inte, eftersom man kan skriva det som 0,12 gånger tio-upphöjt -till -1 -mer. Man vill visa att det finns ett sätt att skriva VARJE tal på den formen (att det sedan finns massor av sätt att skriva det på andra sätt stör inte!)

3. Man vill kunna BEVISA att det blir hälften så många siffror.

smaragdalena skrev :
Man skulle kunna skriva att $A = a \cdot 10^{2 m}$ där $0, 01 \leq a < 1$
Då får man att $\sqrt{A} = \sqrt{a \cdot 10^{2 m}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{10^{2 m}} = \sqrt{a} \cdot 10^{m}$ där $0, 1 \leq \sqrt{a} < 1$ och det syns ganska tydligt att talet har hälften så många siffror som vad A hade.

Funkar den här förklaringen? Du har inte kommenterat den förra gången jag skrev den.

Kombinatorik skrev :
larsolof skrev :
Alla stora heltal kan skrivas som a * 10^n
t.ex
talet 12345678 = 0,12345678 * 10^8
talet 99999999 = 0,99999999 * 10^8
vill du öka 99999999 med 1 så öka INTE 0,99999999
utan öka 10^8 till 10^9
så här
talet 100000000 = 0,1 * 10^9
Det förklara varför a ska vara 0,1 ≤ a < 1

(...)
1. Men talet 99999999 kan väl även skrivas som 0,0099999999 * 10^10 (det vill säga även oändligt många nollor framför decimaltalet 99999999 så länge man kompenserar med rätt exponent till basen 10)? och då stämmer inte villkoret?
2. Vad är det som är så intressant med att ta roten ur a * 10^n och inte direkt på antalet siffror?

Har du oändligt måna nollor framför 99999 så kommer du få noll eftersom du aldrig kommer till stadiet då du implementerar niorna.

smaragdalena skrev :
smaragdalena skrev :
Man skulle kunna skriva att $A = a \cdot 10^{2 m}$ där $0, 01 \leq a < 1$
Då får man att $\sqrt{A} = \sqrt{a \cdot 10^{2 m}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{10^{2 m}} = \sqrt{a} \cdot 10^{m}$ där $0, 1 \leq \sqrt{a} < 1$ och det syns ganska tydligt att talet har hälften så många siffror som vad A hade.
Funkar den här förklaringen? Du har inte kommenterat den förra gången jag skrev den.

Jag förstår inte varför de tar roten ur roten ur A men endå få annorlunda svar?

Man vill visa att ett positivt heltal som har n siffror har en kvadratrot som innehåller n/2 siffror. För att lyckas bevisa det, måste man ta till något smart knep. Man väljer att uttrycka alla tal A (där A är precis vilket positivt heltal som helst) som a*10^n, där n är antalet siffror i talet och a är lika med eller större än 0,1 och mindre än 1. Då kan varje A uttryckas på precis ett sätt. (Det finns andra sätt att uttrycka talen, man kan t ex uttrycka 4 som 0,00004*10^5 eller 2^2, men det spelar ingen roll i det här sammanhanget. Det viktiga är att vi kan uttrycka ALLA positiva heltal.)

Är du med så långt?

smaragdalena skrev :
Man vill visa att ett positivt heltal som har n siffror har en kvadratrot som innehåller n/2 siffror. För att lyckas bevisa det, måste man ta till något smart knep. Man väljer att uttrycka alla tal A (där A är precis vilket positivt heltal som helst) som a*10^n, där n är antalet siffror i talet och a är lika med eller större än 0,1 och mindre än 1. Då kan varje A uttryckas på precis ett sätt. (Det finns andra sätt att uttrycka talen, man kan t ex uttrycka 4 som 0,00004*10^5 eller 2^2, men det spelar ingen roll i det här sammanhanget. Det viktiga är att vi kan uttrycka ALLA positiva heltal.)
Är du med så långt?

1. Men det står ingenstans i uppgiften att man vill bevisa att ett positivt heltal som har n siffror har en kvadratrot som innehåller n/2?

2. Varför kan man inte bara ta roten ur A utan att behöva uttrycka det med facits sätt och villkor?

För att du inte har A. Du har bara antalet siffror i A.
Frågan är inte heller vad roten ur A är, bara hur många siffror roten ur A har.

joculator skrev :
För att du inte har A. Du har bara antalet siffror i A.
Frågan är inte heller vad roten ur A är, bara hur många siffror roten ur A har.

Det säger mig fortfarande inte varför jag ska skriva A som ett godtyckligt tal istället för att bara ta roten ur A på en gång

För att kunna BEVISA hur många siffror det är i talet $\sqrt{A}$ . Om du har ett tal med säg 17 siffror, vet du då hur många siffror det är i roten ur det talet?

Kombinatorik skrev :
smaragdalena skrev :
Man vill visa att ett positivt heltal som har n siffror har en kvadratrot som innehåller n/2 siffror. För att lyckas bevisa det, måste man ta till något smart knep. Man väljer att uttrycka alla tal A (där A är precis vilket positivt heltal som helst) som a*10^n, där n är antalet siffror i talet och a är lika med eller större än 0,1 och mindre än 1. Då kan varje A uttryckas på precis ett sätt. (Det finns andra sätt att uttrycka talen, man kan t ex uttrycka 4 som 0,00004*10^5 eller 2^2, men det spelar ingen roll i det här sammanhanget. Det viktiga är att vi kan uttrycka ALLA positiva heltal.)
Är du med så långt?
1. Men det står ingenstans i uppgiften att man vill bevisa att ett positivt heltal som har n siffror har en kvadratrot som innehåller n/2?
2. Varför kan man inte bara ta roten ur A utan att behöva uttrycka det med facits sätt och villkor?

Det står i uppgiften att man har ett tal som är ett primtal. Ett primtal är ett positivt heltal (som bara råkar vara delbart med 1 och sig självt). Alltså vet vi att alla primtal är positiva heltal.

smaragdalena skrev :
För att kunna BEVISA hur många siffror det är i talet $\sqrt{A}$ . Om du har ett tal med säg 17 siffror, vet du då hur många siffror det är i roten ur det talet?

enligt mig borde det vara roten ur 17. Enligt facit borde det bli 17/2. Men jag förstår fortfarande inte hur de drar en sådan slutsats genom att faktiskt ta roten ur A och få ett helt annorlunda svar än vad jag får?

Pröva! Skriv ett tal med 17 siffror, vilket som helst, och dra roten ur det. (Hoppas WolframAlpha klarar det!) Räkna antalet siffror i svaret. Är det 8 (eller möjligen 9) eller är det drygt 4?

Jag tyckte att jag visade att kvadraten på ett tal får dubbelt så många siffror. "Nej, det är just det jag inte förstår" skrev du då. Det tycks mej konstigt för hur kan man undgå att se att 160000 har dubbelt så många siffror som 400.

Apropå inledningen vad har hänt de senaste fyra åren och är frågan väl ställd?

Beror det inte på vilka primtal(-skandidater) som ska kontrolleras. För vissa primtals"typer"

finns det specialmetoder som är mycket mer effektivare se. https://www.mersenne.org/

Largest Known Prime, 49th Known Mersenne Prime Found!!
January 7, 2016 — GIMPS celebrated its 20th anniversary with the discovery of the largest known prime number, 274,207,281-1. Curtis Cooper, one of many thousands of GIMPS volunteers, used one of his university's computers to make the find. The prime number, also known as M74207281, is calculated by multiplying together 74,207,281 twos then subtracting one. It has 22,338,618 digits -- almost 5 million digits longer than the previous record prime number.