Primitivfunktion, med partielintegrering (än en gång)

Än en gång gör jag nåt slarvfel (eller koncept fel, som jag hittar inte själv)

$\int e^{5 x} \sin (2 x) d x$ =

$I = \frac{e^{5 x}}{5} \sin (2 x) - \int \frac{e^{5 x}}{5} 2 \cos (2 x) d x I = \frac{e^{5 x}}{5} \sin (2 x) - \frac{e^{5 x}}{5^{2}} 2 \cos (2 x) + \int \frac{e^{5 x}}{5^{2}} 4 s i n (2 x) d x I = \frac{e^{5 x}}{5} \sin (2 x) - \frac{e^{5 x}}{5^{2}} 2 \cos (2 x) + \frac{4}{5^{2}} \underset{u r s p r u n g l i g I}{\underset{⏟}{\int e^{5 x} \sin (2 x) d x}} (1 - \frac{4}{25) I = \frac{e^{5 x}}{5} \sin (2 x) - \frac{e^{5 x}}{5^{2}} 2 \cos (2 x) d x}$

Mitt svar:

$I = \frac{e^{5 x}}{21} [5 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)]$

Rätt svar:

$I = \frac{e^{5 x}}{5^{2} + 2^{2}} [5 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)]$

Så 29 istället för 21. Varifrån kommer denna 29?

EDIT: AHA. Jag ser varifrån kommer 29, det är samma teckenfel som förut, men jag förstår inte hur jag genererar den. Cos deriveras väl i minus sin? (i blå)

Ett tips är att sätta parenteser runt varje ny integral. Sedan hanterar du teckenbyten separat när du tar bort parenteserna. Annars blir det lätt fel när man ska hålla ordning på tecken för både trigonometriska derivator och den partiella integrationen samtidigt.

Jämför

Aaaaahaaah! Det var en djup teckenfel, inte ett slarv!

Både exponentialfunktionen och sinusfunktionen återkommer om man deriverar tillräckligt många gånger; det gäller att uttrycka integralen ( $I$ ) i termer av sig själv.

$I = \frac{e^{5 x}}{5} \sin 2 x - \frac{2}{5} \int e^{5 x} \cos 2 x d x .$

Sedan är cosinus-integralen

$J = \int e^{5 x} \cos 2 x d x = \frac{1}{5} e^{5 x} \cos 2 x + \frac{2}{5} \int e^{5 x} \sin 2 x d x = \frac{1}{5} e^{5 x} \cos 2 x + \frac{2}{5} I .$

Den sökta integralen är nu uttryckt med hjälp av sig själv;

$\displaystyle I = \frac{1}{5}e^{5x}\sin2x-\frac{2}{5^2}e^{5x}\cos2x-\frac{2^2}{5^2}I.$

Svara

Visa senaste svar