Primitiva funktioner

Hej,

Hur hittar jag på enklast vis den allmänna primitiva funktionen till f(x)=sinxcosx utan att behöva "gissa" mig fram enligt "vad ska man ha deriverat för att få detta". Finns det någon formel som man kan gå efter? Tänker att den måste ha kommit från en funktion F(x) som deriverats med produktregeln, men längre än så kommer jag inte.

Genom variabelsubstitution.

$\int \sin x \cos x d x = ⋰ \sin x = u, d u = \cos x d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{\cos x} ⋰ \Rightarrow \int u \cos x * \frac{d u}{\cos x} = \int u d u = \frac{u^{2}}{2} + c = \frac{\sin^{2} x}{2} + c$

Pikkart skrev:
Genom variabelsubstitution.

$\int \sin x \cos x d x = ⋰ \sin x = u, d u = \cos x d x \Rightarrow d x = \frac{d u}{\cos x} ⋰ \Rightarrow \int u \cos x * \frac{d u}{\cos x} = \int u d u = \frac{u^{2}}{2} + c = \frac{\sin^{2} x}{2} + c$

Hej, tack för svaret!

Är dock inte riiiiktigt med på alla stegen. Finns det ett enklare sätt, alternativt att man kan förenkla det lite? Är inte van att kasta om uttrycken sådär.

Enligt mig finns det inget enklare lösning än det här, det enda du gör är att döpa om. Det är lättare att derivera integrera u än att derivera integrera sinxcosx.

Man döper om sinx till u, vilket ger dig att sinx = u. Sedan deriverar du u med avseende på x och får $\frac{d u}{d x} = \cos x \Leftrightarrow d u = \cos x d x \Leftrightarrow d x = \frac{d u}{\cos x}$ , då kan du ersätta dx med du/cosx i din ursprungliga integral. Detta gör att du kan stryka cos x och enbart får "u" kvar.

Pikkart skrev:
Enligt mig finns det inget enklare lösning än det här, det enda du gör är att döpa om. Det är lättare att derivera integrera u än att derivera integrera sinxcosx.

Man döper om sinx till u, vilket ger dig att sinx = u. Sedan deriverar du u med avseende på x och får $\frac{d u}{d x} = \cos x \Leftrightarrow d u = \cos x d x \Leftrightarrow d x = \frac{d u}{\cos x}$ , då kan du ersätta dx med du/cosx i din ursprungliga integral. Detta gör att du kan stryka cos x och enbart får "u" kvar.

Okej, hur kom du fram till detta:

∫udu=u^2/2+c

Vid en integral av en variabel höjer du exponenten med 1 och delar med den nya exponenten.

$\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + c$

Pikkart skrev:
Vid en integral av en variabel höjer du exponenten med 1 och delar med den nya exponenten.

$\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + c$

Fast hur får du att "udu" blir sinx? Har problem med just "udu"-uttrycket, då jag inte förstår vad det blir. Det blir ju sinx gånger derivatan av sinx, så förstår inte hur du fortsätter sen.

Förstår inte vad du menar riktigt. Variabeln du ska integrera är u, därför blir det u*du. Du kan inte blanda u och x. Om du ska variabelsubstituera till u så måste du få bort dx och ersätta med du.

Pikkart skrev:
Förstår inte vad du menar riktigt. Variabeln du ska integrera är u, därför blir det u*du. Du kan inte blanda u och x. Om du ska variabelsubstituera till u så måste du få bort dx och ersätta med du.

Juste, kom precis på det. Stort tack för hjälpen, detta hjälpte jättemycket!

Alternativt så dribblar du runt med trigonometriska formler

sin(x)cos(x) = sin(2x)/2 som man enkelt ser att den har den primitiva funktionen -cos(2x)/4 och där är vi klara.

om du vill övertyga dig om att det är samma sak så kan du skriva om cos(2x) som 1-2sin²(x) och dribbla runt lite grann. Troligen skiljer det en konstant i slutet, men det gör inget eftersom det finns oändligt många primitiva funktioner, och när vi integrerar har konstanter ingen betydelse.

Ture skrev:
Alternativt så dribblar du runt med trigonometriska formler

sin(x)cos(x) = sin(2x)/2 som man enkelt ser att den har den primitiva funktionen -cos(2x)/4 och där är vi klara.

om du vill övertyga dig om att det är samma sak så kan du skriva om cos(2x) som 1-2sin²(x) och dribbla runt lite grann. Troligen skiljer det en konstant i slutet, men det gör inget eftersom det finns oändligt många primitiva funktioner, och när vi integrerar har konstanter ingen betydelse.

Juste, SÅKLART! STORT TACK!!

Svara

Visa senaste svar