Primitiva funktioner

Visa hur långt du har kommit. Du kan tänka att en primitiv funktion är bara en funktion där vi inte vet vad konstanttermen är.

Vet inte hur jag ska omvandla talen för att sedan kunna fortsätta med formeln genom att subtrahera med N-1 och dividera med N-1

Uppgift 5110

$$\begin{gathered} a) f(x) =\frac{1}{x^2}+\frac{x^2}{3} = x^{-2}+\frac{1}{3}*x^2 \\ F(x) =\frac{x^{-2+1}}{-2+1} + \frac{1}{3}*\frac{x^{2+1}}{2+1} +c=\frac{x^{-1}}{-1} + \frac{1}{3}*\frac{x^3}{3}+c =\frac{-1}{x}+\frac{x^3}{9}+c \\ b) f\left(t\right)=t+\sqrt{t} = t+t^{\frac{1}{2}} \\ F\left(t\right) = \frac{t^2}{2} + \frac{t^{{\displaystyle \frac{1}{2}}+1}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}+1} +c= \frac{t^2}{2} +\frac{t^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}}{{\displaystyle {}^{\frac{3}{2}}}} +c = \frac{t^2}{2} +\frac{2}{{\displaystyle 3}}*t^{\frac{3}{2}} +c \\ F\left(t\right) = \frac{t^2}{2} +\frac{2}{{\displaystyle 3}}\sqrt{t^3}+c \end{gathered}$$

Uppgift 5111

Regeln säger att om H(x) är en primitiv funktion till h(x) så måste $H^{\text{'}}\left(x\right) = h\left(x\right)$

du behöver då dubbelkolla om $F^{\text{'}}\left(x\right) = G^{\text{'}}\left(x\right) =f\left(x\right)$eller inte

$F^{\text{'}}\left(x\right) = 2*(-2)*x^{-2-1}=-4x^{-3}=-\frac{4}{x^3} = f\left(x\right)$. Detta betyder att F(x) är en primitiv funktion till f(x).

$G^{\text{'}}\left(x\right) =$$\frac{-2x*2}{x^4}$= $\frac{-4x}{x^4}$= $-\frac{4}{x^3}$=f(x). Detta betyder att G(x) är en primitiv funktion till f(x).

Mvh

I uppgift a, ta en extra titt på termen $\frac{x^{-1}}{1}$. Om du deriverar den, får du fram $x^{-2}$?

Termen som saknas kan du också härleda fram. Du vet att när vi deriverar termen måste exponenten minska med 1, ner till 2. Vad måste då exponenten vara?

I uppgift b, testa att derivera hela $F(x)$ och se om du får fram exakt $f(x)$. Om du gör det har du räknat rätt.

Tramsinlägg raderat./moderator

Tack så mycket för hjälpen!!  Jag har generellt svårt för att "skriva om/förenkla" talen för att sedan applicera formlen med n+1 i exponenten. Har ni några tips på hur jag kan gå tillväga eller hur jag ska tänka?