Primitiva funktioner

Jag har en uppgift där jag ska avgöra om påstående är sanna eller ej men har fastnat lite.

$A . \int 0 d x = 5 + C B . \int 5 x^{4} d x = x^{5} + C C . \int \frac{1}{2 x^{2}} d x = x^{- 3} + C D . \int \frac{1}{\tan (x)} d x = \ln (|\begin{matrix} \sin (x) \end{matrix}|) + C E . \int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$

A får jag till falsk eftersom man inte vet om 5 är konstanten i den primitiva funktionen

B sant eftersom derivatan av x^5 = 5x^4

C falsk eftersom derivatan av x^-3 = -3x^-4

D tänker jag också falsk om d/dx ln(x)= x^-1 så är ju derivatan 1/sin(x) =/= 1/tan(x)

E får jag till sant eftersom det är väl mer eller mindre definitionen av hur man räknar en vanlig primitiv funktion

Svaret stämmer dock inte och jag förstår inte var jag har gjort fel

Du tänker fel på A och D.

Angående A: Vi vet inte att konstanten är fem, men det har vi faktiskt inte antagit genom att skriva så. Vi adderar ju på värdet av en godtycklig konstant till $5$ , vilket gör att även $5+C$ är en godtycklig konstant. Vi kan även skriva $5-C$ , $\pi+C$ $ o.s.v. Alla är giltiga, eftersom värdet blir godtyckligt när vi adderar på en godtycklig konstant.

Angående D: Att kontrollderivera är smart, men du har glömt en sak. Kedjeregeln.

Svara